10. Harmadik ZH

Rendelkezésre álló idő: 90 perc. Jeleshez legalább 6 feladatot kell jól megoldani. Minden választ indokolj, minden részletet, számítást adj be! Az egyes megoldásokat egymástól jól elkülöníthető módon írd le! Minden lapra írd rá a neved! Bármilyen (saját) írott segédeszköz használhtó. Egymással beszélgetni nem szabad, de bármilyen kérdésed van, tőlem megkérdezheted. Ha egy feladatot hibásnak gondolsz, jelezd!

I. Feladat: Legyen G a tér mozgásainak csoportja, H⊆G pedig azon mozgások halmaza, amelyek egy megadott szakaszt saját magába képeznek! Lásd be, hogy H részcsoport! Hány dimenziós? Mik a konjugáltjai?
II. Feladat: Legyen G a tér mozgásainak csoportja, H⊆G pedig azon mozgások halmaza, amelyek egy megadott körvonalat saját magába képeznek! Lásd be, hogy ez részcsoport! Hány dimenziós? Mik a konjugáltjai?
III. Feladat: Legyen G≤SO(4 ) azon forgatások csoportja, amelyek az (x,y) síkot saját magába képezik, H≤G pedig azon mátrixok csoportja, amelyek az (x,y) sík minden pontját helyben hagyják! Lásd be, hogy G elemei blokkmátrixok (2 ×2 -es blokkokkal)! Lásd be, hogy H normálosztó G-ben! Mi lesz a G/H faktorcsoport?
IV. Feladat: Határozd meg az U(7 ) és az SU(7 ) csoportok Lie algebráját! Hány dimenziósak?
V. Feladat: Legyen G≤GL(7 ,ℝ) az 1 determinánsú felső háromszög mátrixok csoportja! Határozd meg a Lie algebráját! Hány dimenziós?
VI. Feladat: Legyen G≤GL(7 ,ℂ) az unitér átlós mátrixok csoportja! Határozd meg a Lie algebráját! Hány dimenziós?
VII. Feladat: SO(3 ) hat a háromdimenziós téren. Határozd meg a pályákat! Határozd meg a stabilizátor részcsoportokat!
VIII. Feladat: A sík origó középpontú nyújtásai, valamint az x tengellyel párhuzamos eltolásai két egyparaméteres részcsoportot alkotnak. Számítsd ki a két generáló vektormezőt! Számítsd ki a Lie zárójelüket!
IX. Feladat: A kétdimenziós Lorentz transzformáció (c=1 esetén): (x,t)→1 1 −v 2 ( t−vx,x−vt )v∈ℝ Ez egy egyparaméteres részcsoport (v a paraméter). Határozd meg a generáló vektormezőt! Számítsd ki a Lie zárójelét ∂∂x vektormezővel (a térbeli eltolások generátorával)!