2. Konjugálás, normálosztó, faktor csoport

1. Konvenció: Érdemes kiterjeszteni a csoportműveleteket részhalmazokra. Ha G egy csoport, A,B⊆G tetszőleges részhalmazok, és g egy csoportelem, akkor A −1 jelöli az A-beli elemek inverzeinek halmazát, a gA illetve az Ag halmazt úgy kapjuk, hogy az összes A-beli elemet balról illetve jobbról szorozzuk g-vel, és végül AB jelöli az összes ab alakú szorzatot, ahol a∈A és b∈B.
2. Definíció: Legyen G egy csoport, g∈G tetszőleges elem. A következő izomorfizmust g-vel való konjugálásnak nevezzük: G→G,x→gxg −1 A gxg −1 elemet az x elem konjugáltjának mondjuk, jelölése: x g=gxg −1 . Egy elem összes konjugáltjának halmazát az elem konjugált osztályának nevezzük. Ha H≤G egy részcsoport, akkor a H-beli elemek g-vel való konjugáltjai ismét részcsoportot alkotnak, ezt a H részcsoport konjugált részcsoportjának hívjuk, jelölése H g=gHg −1 . Egy részcsopot összes konjugáltjának halmaza a részcsoport konjugált osztálya.
I. Feladat: Legyen G egy csoport, g∈G tetszőleges elem. Lásd be, hogy a g-vel való konjugálás valóban izomorfizmus!
II. Feladat:Számítsd ki a síkbeli mozgások csoportjában egy eltolás konjugáltjait!
III. Feladat:Számítsd ki a síkbeli mozgások csoportjában egy elforgatás konjugáltjait!
IV. Feladat:Számítsd ki egy X halmaz S(X) permutációcsoportjában egy transzpozíció konjugáltjait.
3. Definíció: Legyen G egy csoport, H≤G egy részcsoport. H jobboldali mellékosztályai a gH részhalmazok, ahol g∈G tetszőleges elem lehet. Hasonlóképpen, a Hg részhalmazokat baloldali mellékosztályoknak hívjuk.
V. Feladat: Lásd be, hogy egy H részcsoport jobboldali mellékosztályai egyúttal baloldali mellékosztályok is. Melyik részcsoporté? Megoldások
VI. Feladat:Lásd be, hogy egy M≤G részhalmaz pontosan akkor mellékosztály, ha M=MM −1 M.
4. Definíció: Legyen G egy csoport. Egy N≤G részcsoportot normálosztónak mondunk, ha zárt a konjugálásra nézve: gNg −1 =N minden g∈G elemre. Jelölése: N◃G.
VII. Feladat: Lásd be, hogy egy csoport centruma mindig normálosztó a csoportban!
VIII. Feladat: Legyen G egy csoport, N◃G egy normálosztó! Lásd be, hogy N centruma nem csak N-ben normálosztó, hanem G-ben is!
IX. Feladat: Legyen G egy csoport, g,h∈G elemek, és N◃G egy normálosztó! Mutasd meg, hogy a gN és hN mellékosztályok szorzata (1. Konvenció) éppen a (gh)N mellékosztály!
X. Feladat: Legyen G egy csoport, g∈G egy elem, és N◃G egy normálosztó! Mutasg meg, hogy a gN mellékosztály inverze (1. Konvenció) éppen a g −1 N mellékosztály!
5. Tétel: Legyen G egy csoport és N◃G egy normálosztó! Az N mellékosztályai csoportot alkotnak: a szorzást és az inverz képzést az 1. Konvenció szerint végezzük, az egységelem N lesz.
6. Definíció: Legyen G egy csoport és N◃G egy normálosztó! Az N mellékosztályai által alkotott csoportot (5. Tétel) G/N-nel jelöljük, és faktorcsoportnak nevezzük.
7. Tétel: Minden ϕ:G→H csoport homomorfizmus magja normálosztó, és a szerinte vett faktorcsoport izomorf a homomorfizmus képével: G/ker(ϕ)≈im(ϕ)
8. Definíció: Legyen G egy csoport, H≤G egy részcsoport. A H normalizátora az olyan g∈G elemek halmaza, amelyek H-t önmagába konjugálják: H g=H. Jelölése: N G(H).
XI. Feladat: Mutasd meg, hogy egy részcsoport normalizátora szintén részcsoport!
XII. Feladat: Legyen G egy csoport, H egy részcsoport. Mutasd meg, hogy H normalizátora egy H-t tartalmazó részcsoport, amelynek H normálosztója!
XIII. Feladat: Legyen G egy csoport, H egy részcsoport. Mutasd meg, hogy H normalizátora a lehető legnagyobb az olyan H-t tartalmazó részcsoportok közül, amelyekben H normálosztó!

Diagonalizálható mátrixok

9. Tétel:Egy komplex mátrix pontosan akkor diagonalizálható, ha felcserélhető az adjungáltjával. Ez történik például olyankor, ha csupa különböző sajátértéke van.
XIV. Feladat:Legyen M∈GL(n,ℂ) egy diagonalizálható mátrix! Mely mátrixok cserélhetők fel M-mel? Lásd be, hogy ezek egy zárt részcsoportot alkotnak! Ezt hívjuk az M centralizátorának. Lásd be, hgy ha M sajátértékei mind klönbözőek, akkor a centralizátora éppen az átlós mátrixok részcsoportjának egy konjugáltja!
XV. Feladat:Legyen M∈GL(n,ℂ) egy diagonalizálható mátrix! Határozd meg a konjugáltosztályát!

Átlós mátrixok

10. Konvenció:Egy mátrixot permutáció mátrixnak mondunk, ha minden sorában egy helyen áll 1 , a többi helyen pedig 0 . A következő néhány feladatban P<GL(n,ℝ) a permutáció mátrixok részcsoportját, D<GL(n,ℝ) jelöli az átlós mátrixok csoportját, és H<GL(n,ℝ) jelöli az olyan mátrixok részcsoportját, amelyek minden sorában egyetlen nemnulla elem van.
XVI. Feladat:Lásd be, hogy P, D és H részcsoportok!
XVII. Feladat:Lásd be, hogy PD=DP=H!
XVIII. Feladat:Lásd be, hogy D normálosztó H-ban. Mik lesznek a mellékosztályok? Mutasd meg, hogy minden mellékosztály pontosan egy P-beli elemet tartalmaz. Mi lesz a H/D faktorcsoport? Segítség
XIX. Feladat:Mutasd meg, hogy ha egy mátrix felcserélhető minden D-beli mátrixszal, akkor ő maga is D-beli. (Tehát a D centralizátora saját maga.)
XX. Feladat:Mutasd meg, hogy ha egy m mátrixra mD=Dm, akkor m∈P. (Tenát a D normalizátora H. Ez a legnagyobb részcsoport, amelyben D normálosztó.)
XXI. Feladat:Tekintsük azokat a mátrixokat GL(n,ℝ)-ben, amelyek a koordináta tengelyeket saját magukba képezik. Lásd be, hogy ezek éppen az átlós mátrixok.
XXII. Feladat:Mely résszcsoportok lesznek D konjugáltjai? Segítség
XXIII. Feladat:Tekintsük azokat a mátrixokat, amelyek minden bázisvektort bázisvektorba (de nem feltétlenül ugyanabba) visznek. Lásd be, hogy ezek épp a permutáció mátrixok, tehát P elemei.
XXIV. Feladat:Tekintsük azokat a mátrixokat GL(n,ℝ)-ben, amelyek minden koordináta tengelyt koordináta tengelybe (de nem feltétlenül ugyanabba) képeznek. Lásd be, hogy ezek éppen a H-beli mátrixok! Ez ad egy H→S n leképezést: minden h∈H transzformációhoz hozzárendeljük azt a permutációt, ahogyan h permutálja a koordináta tengelyeket. Lásd be, hogy ez homomorfizmus. Mi a magja? Mi a képe? Mi lesz a P részcsoport képe?

Háromszögmátrixok

11. Konvenció: Az alábbi feladatokban G<GL(n,ℝ) jelöli a háromszögmátrixok halmazát, tehát az olyan mátrixokét, amelyekben a főátló alatt csupa 0 áll. D<G jelöli majd az átlós mátrixok csoportját N<G pedig az olyan háromszögmátrixok halmazát, amelyekben a főátlóban csupa 1 -es szerepel. Ezen kívül V i≤ℝ n jelöli azt az alteret, amit az első i bázisvektor feszít ki (tehát azon pontok terét, melyeknek csak az első i koordinátája lehet nem nulla).
XXV. Feladat:Lásd be, hogy ha egy mátrix felcserélhető G minden elemével, akkor ő skalármátrix! (Tehát G centralizátora GL(n,ℝ)-ben a skalármátrixok részcsoportja.)
XXVI. Feladat:Lásd be, hogy ha egy m mátrixra mG=Gm, akkor m∈G. (Tehát G a saját normalizátora: ha nem lehet normálosztó egy nála nagyobb részcsoportban.)
XXVII. Feladat:Lásd be, hogy G, D és N részcsoportok GL(n,ℝ)-ben.
XXVIII. Feladat:Lásd be, hogy N normálosztó G-ben, D viszont nem az! Határozd meg a D részcsoport konjugáltjait!
XXIX. Feladat:Van egy természetes G→D leképezés: egy m∈G mátrix képét úgy kapjuk meg m-ből, hod a főátló feletti elemeket is kicseréljük nullára. Lásd be, hogy ez a leképezés egy homomorfizmus! Mi a magja? Mi a képe?
XXX. Feladat:Lásd be, hogy egy mátrix pontosan akkor háromszögmátrix, ha mindegyik V i alteret saját magába képezi.
XXXI. Feladat:Minden n≥i-re van egy természetes ϕ i:G→GL(V i) leképezés: minden g∈G transzformáció a V i teret önmagába viszi, tehát egyútal a V i-nek is lineáris transzformációja. Add meg a ϕ i leképezéseket mátrixokkal! Lásd be, hogy homomorfizmusok! Mi a magjuk? Mi a képük? Segítség
XXXII. Feladat:Minden n≥i≥j-re van egy természetes ψ j:G→GL(ℝ n/V j) homomorfizmus: egy g∈G elem a v+V j affin alteret a gv+V j altérbe viszi, ez lineáris transzformáció az ℝ n/V j faktortéren. Add meg a ϕ j homomorfizmust mátrxokkal! Mi a magja? Mi a képe?Segítség
XXXIII. Feladat:Minden n≥i>j-re van egy természetes η i,j:G→GL(V i/V j) homomorfizmus: egy g∈G elem a v+V j affin alteret a gv+V j altérbe viszi, ez lineáris transzformáció a V i/V j faktortéren. Add meg az η ij homomorfizmust mátrxokkal! Mi a magja? Mi a képe?Segítség

Általános feladatok

XXXIV. Feladat:Legyenek G,K,L csoportok, ϕ:G→K és ψ:G→L pedig homomorfizmusok! Ez ad egy természetes η:G→K⊗L,η(g)=(ϕ(g),ψ(g)) leképezést. Lásd be, hogy ez homomorfizmus! Mutasd meg, hogy ker(η)=ker(ϕ)∩ker(ψ).
XXXV. Feladat:Lásd be, hogy részcsoportok metszete részcsoport, de részcsoportok szorzata általában nem részcsoport!
XXXVI. Feladat:Adott egy G csoport, egy H≤G részcsoport, és egy N◃G normálosztó. Lásd be, hogy H∩N részcsoport, és normálosztó H-ban! Lásd be, hogy ha H is normálosztó G-ben, akkor H∩N normálosztó lesz G-ben is!
XXXVII. Feladat:Adott egy G csoport, egy H≤G részcsoport, és egy N◃G normálosztó. Lásd be, hogy az NH szorzat részcsoport. Mutasd meg, hogy ha H is normálosztó, akkor NH is az!