3. Szimmetrikus csoport: S(X)

Megoldások

VI. Feladat:Lásd be, hogy minden permutációnak csak egyféle ciklusfelbotása van!
Segítség:A ciklusfelbontásban egymástól diszjunkt ciklusokat használunk!
VII. Feladat:Igaz-e, hogy minden másodrendű permutáció transzpozíció?
Megoldás:Nem: (1,2 )(3,4 ) is másodrendű.
VIII. Feladat:Határozd meg egy transzpozíció konjugált osztályát!
Segítség:Lásd be, hogy ha az (s,t) transzpozíciót konjugáljuk egy α permutációval, akkor az (α(s),α(t)) transzpozíciót kapjuk!
X. Feladat: Határozd meg egy tetszőleges permutáció konjugált osztályát!
Segítség:Lásd be, hogy két permutáció pontosan akkor konjugált, ha ciklusfelbontásukban ugyanolyan méretű ciklusok szerepelnek, és minden méretből ugyanannyi!
XIV. Feladat:Hogyan számíthatod ki egy permutáció rendjét? Legfeljebb mekkora lehet?
Segítség:A ciklusfelbontásban szereplő ciklusméretek legkisebb közös többszöröse.
XVI. Feladat: Legyen G=S(X) az X halmaz szimmetrikus csoportja. Minden x∈X elemre G x jelüli az x elem stabilizátorát, tehát azon g∈Gpermutációk halmazát, amelyekre g(x)=x. Lásd be, hogy mindegyik G x részcsoport, és egymás konjugáltjai. Lásd be, hogy ez részcsoportok egy teljes konjugált osztálya: ha egy részcsoport konjugált G x-hez, akkor az G y valamelyik y∈X elemmel.
Segítség:Lásd be, hogy gG xg −1 =G g(x).
XXI. Feladat:Lásd be, hogy a paritás kétféle definíciója megegyezik! Ebből következik az is, hogy a paritás nem függ attól, hogyan alakítottuk transzpozíciók szorzatává a permutációnkat.
Segítség:Használd a XX. . Feladatot