3. Szimmetrikus csoport: S(X)

1. Definíció:
Szimmetrikus csoport
Egy halmaz saját magára való invertálható leképezéseit permutációknak, vagy transzformációknak nevezzük. Egy X halmaz összes permutációinak csoportját az X szimmetrikus csoportjának hívjuk, jelölése S(X). Ha a halmaz véges, és n eleme van, akkor a csoportot szokták S n-nel is jelölni.
I. Feladat:Hány eleme van az S n csoportnak?
2. Definíció:Az olyan permutációt, amelyik két elemet kicserél és minden más elemet helyben hagy, tanszpozíciónak nevezzük. Ezek mind másodrendűek, azaz a négyzetük az egységelem. Az olyan permutációt pedig, amelyik k elemet körbe visz, és a többi elemet nem mozdítja, k-ciklusnak nevezzük.
3. Konvenció: Egy véges halmaz permutációira kétféle jelölést használunk. Legyen a halmazunk X={a,b,c,d,e,f,g,h}, rakjuk sorba ABC rendben. Ekkor a π=(1 1 3 4 5 6 7 8 3 2 4 1 7 8 5 6 ) permutáció a fölső sorban szereplő pozíciókat az alatta levő pozícióba viszi. Tehát az a elem a c helyére kerül, a c a d helyére, ő pedig visszakerül az a eredeti helyére. Ez egy hármas ciklus, (1,3,4 )-gyel szokták jelölni. Látható, hogy a permutációt felbonthatjuk ciklusokra: az (a,c,d) elemeket körbe cseréli, az (e,g) és az (f,h) elemeket kicseréli egymással, a b elemet pedig helyben hagyja. Ezen alapul a másik fajta írásmód, a ciklusfelbontás: π=(1,3,4 )(5,7 )(6,8 ) Figyelem! A ciklusfelbontásban egymástól diszjunkt ciklusokra bontunk (tehát minden elem legfeljebb az egyikban lehet benne).
II. Feladat:Lásd be, hogy két ciklus felcserélhető, ha diszjunktak, azaz csupa különböző elemeket mozgatnak. Lehetnek-e felcserérlhetők olyankor, ha nem diszjunktak?
III. Feladat:Lásd be, hogy a ciklusfelbontásban a tényezők sorrendje mindegy.
IV. Feladat:Általában hogyan dönthető el, hogy két permutáció felcserélhető-e? Mi lesz S n centruma?
V. Feladat:Számítsd ki a következő perutációkat S 9 -ben: (1,2,3 )⋅(3,4,5 ) (1,4,7,9 ) −1 (1,3,4,5,2,8,7,9,6 )⋅(8,2,5,4,3,1,6,9,7 )
VI. Feladat:Lásd be, hogy minden permutációnak csak egyféle ciklusfelbotása van!Segítség
VII. Feladat:Igaz-e, hogy minden másodrendű permutáció transzpozíció? Megoldások
VIII. Feladat:Határozd meg egy transzpozíció konjugált osztályát!Segítség
IX. Feladat:Határozd meg egy k-ciklus konjugált osztályát!
X. Feladat: Határozd meg egy tetszőleges permutáció konjugált osztályát!Segítség
XI. Feladat:Hány transzpozíció van S n-ben? Hány k-ciklus van S n-ben? Mekkorák a konjugált osztályok?
XII. Feladat:Lásd be, hogy minden permutáció felírható transzpozíciók szorzataként!
4. Definíció:Az előző feladat szerint minden permutáció felírható transzpozíciók szorzataként. A permutáció hossza a legrövidebb felírásban szereplő tényezők száma. Vigyázat! Egy k-ciklus hossza nem k, hanem k−1 .
XIII. Feladat:Mennyi egy ciklus hossza? Hogyan számolhatod ki egy tetszőleges permutáció hosszát? Milyen hosszú a leghosszabb permutáció S n-ben?
XIV. Feladat:Hogyan számíthatod ki egy permutáció rendjét? Legfeljebb mekkora lehet? Segítség
XV. Feladat:Legyenek Y⊂X halmazok. Lásd be, hogy az X halmaz olyan permutációi, amelyek az Y elemeit az Y-ba viszik, részcsoportot alkotnak S(X)-ben! Lásd be, hogy ez a részcsoport izomorf az S(Y)×S(X∖Y) csoporttal!
XVI. Feladat: Legyen G=S(X) az X halmaz szimmetrikus csoportja. Minden x∈X elemre G x jelüli az x elem stabilizátorát, tehát azon g∈Gpermutációk halmazát, amelyekre g(x)=x. Lásd be, hogy mindegyik G x részcsoport, és egymás konjugáltjai. Lásd be, hogy ez részcsoportok egy teljes konjugált osztálya: ha egy részcsoport konjugált G x-hez, akkor az G y valamelyik y∈X elemmel. Segítség
XVII. Feladat:Legyen G egy szabályos test szimmetriacsoportja, x pedig a test egy csúcsa, éle, vagy lapja. Legyen G x az x stabilizátora, tehát azon szimmetriák halmaza, amelyek x-et saját magába viszik. Lásd be,hogy ez mindig részcsoport! Határozd meg, melyik részcsoport (minden szabályos testre, mindhárom fajta x-re)! Lásd be, hogy ha y egy másik csúcs, él, vagy lap, de ugyanolyan fajta, mint x, akkor G y konjugált G x-hez, különböző fajta y esetén viszont nem konjugáltak! Határozd meg a G x részcsoport konjugált osztályát!
XVIII. Feladat:Végezd el az előző feladatot szabályos helyett félig szabályos testekke. Hány konjugált osztályt kapsz?
XIX. Feladat:Legyen c∈S n egy n-ciklus, t egy transzpozíció. Lásd be, minden permutáció megkapható ezek ismételgetésével! (Más szóval, c és t generálja S n-et. Jelöléssel: S n=⟨c,t⟩.
5. Definíció:Egy permutációt felbontunk transzpozíciók szorzatára. A transzpozíciók száma függ a felbontástól, a transzpozíciók számának paritása (páros vagy páratlan) azonban nem. Ezt a paritás a permutációparitása. Máképpen is kiszámolható: megegyezik a ciklusfelbontásban szereplő páratlan hosszúságú ciklusok számával. (Vigyázat! Egy k-ciklus hossza k−1 , tehát például a transzpozíciók és a 4-ciklusok páratlanok, a 3-ciklusok pedig párosak! A páros paritást gyakran 1 -nek írjuk, a páratlant pedig −1 -nek (gondolj −1 hatványaiban a kitevőre!), tehát a kétféle paritás egy kételemű csoportot alkot: {±1 }, a szorzással. További elnevezések: páros perutációnak illetve páratlan permutációnak mondjuk a permutációt, ha a paritása pásos illetve páratlan.
XX. Feladat:Lást be, hogya paritás egy homomorfizmus S n-ből a kételemű csoportba. A homomorfizmus magja az alternáló csoport, jelölése A n.
6. Érdekesség:Ha n legalább 5, akkor S n-ben egyetlen valódi normálosztó van: az A n.
XXI. Feladat:Lásd be, hogy a paritás kétféle definíciója megegyezik! Ebből következik az is, hogy a paritás nem függ attól, hogyan alakítottuk transzpozíciók szorzatává a permutációnkat. Segítség