6. Csoport hatások, pályák, stabilizátorok

1. Definíció:

csoport hatás

Legyen

G

egy csoport. Egy

G

-hatás az

X

halmazon nem más, mint egy kétváltozós függvény:

G \times X \to X

, amit szorzással fogunk jelölni, és ami kielégíti a következő azonosságot:

g (h x) = (g h) x g, h \in G, x \in X

G

Lie csoport,

X

sokaság, és a kétváltozós függvényünk végtelen sokszor differenciálható, akkor differenciálható csoport hatásnak mondjuk.

2. Tétel: Legyen

G

egy csoport, ami hat egy

X

halmazon!

S (X)

jelöli az

X

halmaz szimmetrikus csoportját. Definiáljuk a

ϕ : G \to S (X)

leképezést:

ϕ (g) (x) = g x

. Ez egy csoport homomorfizmus. Fordítva: minden

G \to S (X)

homomorfizmus megad egy

G

-hatást

X

-en. Ezért a

G

-hatást megadhatjuk a hozzá tartozó

ϕ

homomorfizmussal is.

3. Definíció:

pálya, stabilizátor

Legyen

G

egy csoport, ami hat egy

X

halmazon! Egy

x \in X

elem egy

g \in G

transzformáció fixpontja, ha

gx = x

. az

x

elem az egész

G

csoport fixpontja, ha

gx = x

minden

g \in G

-re. Az

x

elem pályája (jelölése

Gx

Gx = {gx ∣ g \in G} \subseteq X

x

stabilizátora (jelölése

G_{x}

) pedig:

G_{x} = {g \in G ∣ gx = x} \subseteq G

I. Feladat: Mutasd meg, hogy a stabilizátor mindig részcsoport! Igaz-e, hogy mindig normálosztó? Segítség

4. Tétel: Legyen

G

egy csoport, ami hat egy

X

halmazon,

x \in X

tetszőleges pont. A

G_{x}

stabilizátor mindig részcsoport. A

Gx

pályája pontjai egy-egyértelmű megfeleltetésben állnak a

G_{x}

stabilizátor mellékosztályaival: a

{gG}_{x}

mellékosztályban pontosan azok a csoportelemek laknak, amelyek

x

-et az

y = gx

pontba viszik. Ennek az

y

-nak a stabilizátora pedig éppen a

G_{y} = g G_{x} g^{- 1}

konjugált részcsoport. Látható, hogy

G_{x}

minden konjugáltját megkapjuk, mint a

Gx

pályán valamelyik pont stabilizátorát. (Viszont több pontnak is lehet ugyanaz a stabilizátora! Ha például

G_{x}

normálosztó, akkor a pálya minden pontjában ugyanaz a stabilizátor.)

5. Megjegyzés: A fenti tétel miatt egy pont stabilizátor részcsoportja pontosan meghatározza a pálya szerkezetét!

6. Tétel: Legyen

G

egy Lie csoport, ami differenciálhatóan hat egy

M

sokaságon. Ekkor a stabilizátor részcsoportok zárt részcsoportok, tehát maguk is Lie csoportok. A pályák pedig részsokaságok.

7. Megjegyzés: Tekintsük a

ϕ : G \to X

g \to gx

leképezést. Jelölje

g

G

Lie algebráját. A stabilizátor egy rész Lie csoport, legyen

h \leq g

a Lie algebrája, és legyen

h^{⊥}

az ortogonális kiegészítője. A

ϕ \circ \exp : G \to X

leképezés a

Gx

pályába képez, és könnyű látni, hogy bijektíven képezi

h^{⊥}

origó körüli környezetét

Gx

egy

x

-körüli környezetébe.

8. Tétel: Legyen

G

egy Lie csoport, ami hat az

M

sokaságon. Jelölje

g

a csoport Lie algebráját. Minden

A \in g

elemhez tartozik egy

t \to e^{tA}

egyparaméteres részcsoport, és minden

p \in M

pontból kiindul a

t \to e^{tA} x

görbe. Ennek az érintő vektora megad egy vektormezőt

M

-en:

V_{A} (x) = \frac{\partial}{\partial t} e^{tA} x ∣_{t = 0}

A \to V_{A}

leképezés egy Lie algebra homomorfizmus

g

-ből az

M

-en élő vektormezők Lie algebrájába.

9. Megjegyzés: A fenti tételt meg is lehet fordítani: a vektormezőt leíró differenciálegyenlet megoldható a Picard-Lindelöf tétel miatt, így tudunk a

g

-hez rendelt vektormezőkből

M \to M

transzformációkat gyártani. Ezek összeállnak egy Lie csoporttá - de mint a 5/(B) Listában, most sem feltétlenül a

G

csoportot kapjuk vissza.

(A)

csoport hatás - vektormező kapcsolata

Legyen $G$ egy összefüggő Lie csoport, $g$ a Lie algebrája. Tegyük fel, hogy $G$ differenciálhatóan hat az $M$ sokaságon!
Az (A) Tételben megtaláltunk egy Lie algebra homomorfizmust $g$ -ből az $M$ -en élő vektormezők Lie algebrájába.
Fordítva: minden olyan Lie algebra homomorfizmus, amelyik $g$ elemeihez $M$ -en élő vektormezőket rendel meghatároz egy differenciálható $\tilde{G}$ -hatást $M$ -en, ahol $\tilde{G}$ a $g$ Lie algebrájú egyszeresen összefüggő Lie csoport.
Legyen $p \in M$ tetszőleges pont, az (A) Tétel ad egy lineáris leképezést $g$ -ből a $p$ -beli érintővektorok terébe. Ennek a magja éppen a $G_{p}$ stabilizátor Lie algebrája.
Fordítva: $G$ fixpont halmaza éppen a fenti vektormezők közös zérushelye.