7. Csoport ábrázolások

1. Definíció:
lineáris ábrázolás
Legyen G egy csoport, V egy (valós vagy komplex) vektortér! G lineáris ábrázolása, vagy más szóval lineáris reprezentációja a V vektortéren, az egy olyan G-hatás V-n, amit egy G→GL(V) homomorfizmussal adhatunk meg. Másképpen: olyan csoporthatás,amelyben minden g∈G elemre a V→V, x→gx transzformáció egy lineáris transzformáció.
2. Tétel: Legyen G egy összefüggő Lie csoport, g a Lie algebrája, és V egy véges dimenziós lineáris ábrázolása. Az ábrázolás egy G→GL(V) homomorfizmus, aminek a deriváltja az 5/(B) Lista szerint egy g→gl(V) Lie algebra homomorfizmus.
3. Megjegyzés: Folytassuk a 2. Tétel gondolatmenetét! Az 4/IX. Feladatban vektormezőket rendelünk a gl(V)-beli mátrixokhoz, tehát kapunk egy Lie algebra homomorfizmust ami g elemeihez V-n élő vektormezőket rendel. Ezek pontosan ugyanazok a vektormezők, mint amit az 6/8. Tételben gyártottunk.
4. Definíció:
unitér ábrázolás
Legyen G egy csoport, H egy Hilbert tér! G unitér ábrázolása, vagy más szóval unitér reprezentációja a H téren, az egy olyan G-hatás H-n, amit egy G→U(H) homomorfizmussal adhatunk meg. Másképpen: olyan csoporthatás,amelyben minden g∈G elemre a H→H, x→gx transzformáció egy unitér transzformáció.
5. Definíció: Legyen G egy csoport, V és W lineáris G-ábrázolások! Egy ϕ:V→W lineáris leképezést ekvivariánsnak mondunk, ha ϕ(gv)=gϕ(v) minden g∈G, v∈V esetén. V és W izomorf ábrázolások, ha van köztük egy invertálható ekvivariáns lineáris leképezés.
6. Definíció:
invariáns altér
Legyen G egy csoport, V egy lineáris G-ábrázolás. Egy W≤V alteret invariáns altérnek mondunk, ha gW⊆W minden g∈G transzformációra. Egy invariáns altér maga ia G-ábrázolás, és a V/W faktortér is természetes módon G-ábrázolás lesz: g(v+W):=gv+W.
7. Definíció:
ábrázolások direkt összege
Legyen G egy csoport, V és W lineáris G-ábrázolások. Megadunk egy G-ábrázolást a V⊕W direkt összeg vektortéren: g(v,w):=(gv,gw)g∈G,(v,w)∈V⊕W Ezt az ábrázolást hívjuk V és W direkt összegének. Ha V és W unitér ábrázolások, akkor a direkt összegük is az.
8. Tétel: Legyen V a G csoport unitér ábrázolása, és W⊆V egy invariáns altér. Ilyenkor a W ⊥ merőleges liegészítő szintén invariáns altér, és V≈W⊕W ⊥.
9. Definíció:
irreducibilis ábrázolás
Egy lineáris ábrázolás irreducibilis, ha nincs más invariáns altere, mint 0 és önmaga. Unitér ábrázolás pontosan akkor irreducibilis, ha nem áll elő direkt összegként.
10. Definíció:
ábrázolások tenzor szorzata
Legyen G egy csoport, V és W lineáris G-ábrázolások. tegyük fel, hogy véges dimenziósak, legyen V bázisa e 1 ,e 2 ,…e n, W bázisa pedig f 1 ,f 2 ,…f m. A V⊗W tenzorszorzat bázisa az e i⊗f j párok, az ⊗ operációt mindkét változóban lineárisan kiterjesztjük egy kétváltozós ⊗:V×W→V⊗W függvénnyé. Egy g∈G elem hatása a bázisvektorokon: g(e i⊗f j)=(ge i)⊗(gf j) Ezt lineárisan kiterjesztjük az egész V⊗W térre, így egy lineáris G-ábrázolást kapunk. Világos, hogy g(v⊗w)=(gv)⊗(gw) minden v∈V, w∈W párra.
11. Definíció:
unitér ábrázolások tenzor szorzata
Legyen G egy csoport, V és W unitér ábrázolások. (Tehát V és W Hilbert terek, lehetnek végtelen dimenziósak is.) Legyen e 1 ,e 2 … ortonormált bázis V-ben, f 1 ,f 2 ,… pedig ortonormált bázis V-ben! A V⊗W Hilbert tér ortonormált bázisa az e i⊗f j párok, ezt az előző definícióhoz hasonlóan kiterjesztjük egy mindkét változóban lineáris ⊗:V×W→V⊗W leképezéssé. Egy g∈G elem hatását megint a bázison értelmezzük: g(e i⊗f j)=(ge i)⊗(gf j) és ezt megint lineárisan terjesztjük ki egy unitér G-ábrázolássá. Most is g(v⊗w)=(gv)⊗(gw) minden v∈V, w∈W párra.