8. Első ZH

Rendelkezésre álló idő: 60 perc. Jeleshez mindkét szakaszból legalább 3 feladatot kell jól megoldani. Minden választ indokolj, minden részletet, számítást adj be! Az egyes megoldásokat egymástól jól elkülöníthető módon írd le (pl. mindet külön lapra)! Minden lapra írd rá a neved. Bármilyen (saját) írott segédeszköz használhtó. Egymással beszélgetni nem szabad, de bármilyen kérdésed van, tőlem megkérdezheted. Ha egy feladatot hibásnak gondolsz, jelezd!

Részcsoportok

1. Definíció: Valódi részcsoport: olyan részcsoport, amelyik nem egyelemű, és nem az egész csoport.
I. Feladat: Tekintsük a ℝ 3 csoportot (az összeadásra nézve)! Keress benne valódi részcsoportot! Normálosztó-e ez a részcsoport? Határozd meg a konjugáltjait!
II. Feladat: Tekintsük a GL(3 ,ℝ) csoportot! Keress benne valódi részcsoportot! Normálosztó-e ez a részcsoport? Határozd meg a konjugáltjait!
III. Feladat: Tekintsük az S 8 csoportot! Keress benne valódi részcsoportot! Normálosztó-e ez a részcsoport? Határozd meg a konjugáltjait!
IV. Feladat: Tekintsük a kocka szimmetriacsoportját. (Most szimmetria = egybevágóság). Keress benne három valódi részcsoportot! Normálosztó-e ez a részcsoport? Határozd meg a konjugáltjait!
V. Feladat: Tekintsük a háromdimenziós tér mozgás-csoportját. Keress benne valódi részcsoportot! Normálosztó-e ez a részcsoport? Határozd meg a konjugáltjait!
VI. Feladat: Tekintsük az O(3 ) csoportot! Keress benne valódi részcsoportot! Normálosztó-e ez a részcsoport? Határozd meg a konjugáltjait!
VII. Feladat: Tekintsük az SU(2 ) csoportot! Keress benne valódi részcsoportot! Normálosztó-e ez a részcsoport? Határozd meg a konjugáltjait!

Faktorcsoportok

2. Definíció: Valódi normálosztó: olyan normálosztó, amelyik nem egyelemű, és nem az egész csoport.
VIII. Feladat: Tekintsük az 5 ×5 -ös valós háromszögmátrixok csoportját! (Olyan mátrixok, melyekben a főátló alatt minden elem 0 .) Keressünk benne valódi normálosztót! Mi lesz a faktorcsoport?
IX. Feladat: Tekintsük az 5 ×5 -ös komplex átlós mátrixok csoportját! (Olyan invertálható mátrixok, melyekben a főátlón kíül minden elem 0 .) Keressünk benne valódi normálosztót! Mi lesz a faktorcsoport?
X. Feladat: Legyen G≤GL(5 ,ℝ) az olyan mátrixok csoportja, melyek minden koordinátatengelyt (esetleg másik) koordinátatengelybe transzformálnak! Lásd be, hogy G valóban részcsoport! Keress valódi normálosztót G-ben! Mi a faktorcsoport?
XI. Feladat: Tekintsük a térbeli mozgások csoportját! Adj meg egy valódi normálosztót! Mi lesz a faktorcsoport?
XII. Feladat: Tekintsük az S n csoportot! Keressünk benne egy valódi normálosztót! Mi lesz a faktorcsoport?
XIII. Feladat: Tekintsük a ℤ csoportot (összeadásra nézve). Keressünk benne valódi normálosztót! Mi lesz a faktorcsoport?
XIV. Feladat: Tekintsük az U(1 ) csoportot! Keressünk benne egy valódi normálosztót! Mi lesz a faktorcsoport?