9. Második ZH

Rendelkezésre álló idő: 90 perc. Jeleshez legalább 6 feladatot kell jól megoldani. Minden választ indokolj, minden részletet, számítást adj be! Az egyes megoldásokat egymástól jól elkülöníthető módon írd le (pl. mindet külön lapra)! Minden lapra írd rá a neved! Bármilyen (saját) írott segédeszköz használhtó. Egymással beszélgetni nem szabad, de bármilyen kérdésed van, tőlem megkérdezheted. Ha egy feladatot hibásnak gondolsz, jelezd!

I. Feladat: Legyen G a sík mozgásainak csoportja, H⊆G pedig azon mozgások halmaza, amelyek egy rögzített egyenest saját magába képeznek! Lásd be, hogy H részcsoport! Hány dimenziós? Mik a konjugáltjai? Megoldások
II. Feladat: Legyen G a tér mozgásainak csoportja, H⊆G pedig azon mozgások halmaza, amelyek egy rögzített egyenes minden pontját helyben hagyják! Lásd be, hogy ez részcsoport! Hány dimenziós? Mik a konjugáltjai? Megoldások
III. Feladat: Legyen G≤GL(2 ,ℝ) azon mátrixok csoportja, amelyek az x tengelyt saját magába képezik, H≤G pedig azon mátrixok csoportja, amelyek az x tengely minden pontját helyben hagyják! Lásd be, hogy H normálosztó G-ben! Mi lesz a G/H faktorcsoport? Megoldások
IV. Feladat: Határozd meg az O(7 ) és az SO(7 ) csoportok Lie algebráját! Hány dimenziósak? Megoldások
V. Feladat: Legyen G≤GL(7 ,ℝ) az ortogonális felső háromszög mátrixok csoportja! Határozd meg a Lie algebráját! Hány dimenziós? Megoldások
VI. Feladat: Legyen G≤GL(7 ,ℝ) az 1 determinánsú átlós mátrixok csoportja! Határozd meg a Lie algebráját! Hány dimenziós? Megoldások
VII. Feladat: GL(3 ,ℝ) hat a háromdimenziós téren. Határozd meg a pályákat! Határozd meg a stabilizátor részcsoportokat! Megoldások
VIII. Feladat: A háromdimenziós térben a koordináta tengelyek körüli forgatások három egyparaméteres részcsoportot alkotnak SO(3 )-ban. Határozd meg az őket generáló három vektormezőt! Számold ki közülük kettő Lie zárójelét! Megoldások
IX. Feladat: A komplex számsíkon az e t(1 +i)-vel való szorzások (t∈ℝ) forgatva nyújtások, egyparaméteres részcsoportot alkotnak. Határozd meg az őt generáló vektormezőt! A z→z+t eltolások (t∈ℝ) egy másik egyparaméteres részcsoportot alkotnak, határozd meg ennek is a generátorát! Számítsd ki a két vektormező Lie zárójelét! Megoldások