A csoport fogalma

/VIII. Feladat: Adott egy

G

csoport. Bizonyítsd be, hogy ha egy

H \subset G

véges, nem üres részhalmaz zárt a szorzásra nézve, akkor már részcsoport (tehát automatikusan tartalmazza az egységelemet, és zárt az inverz elem képzésre is).

Megoldás: Be kell látnunk, hogy

H

zárt az inverz elem képzésre, és tartalmazza az egységelemet.Legyen hát

h \in H

egy tetszőleges elem, megpróbáljuk az inverzét, és az egységelemet csupán szorzással előállítani

h

--ból. Kezdjük el hatványozni az elemünket:

h, h^{2}, h^{3}, h^{4} \dots

Ez egy végtelen sorozat, minden tagja

H

--ban van (hiszen szorzással kaptuk őket

h

--ból). Mivel

H

véges, azért előbb-utóbb valamelyik tag megismétlődik:

h^{n} = h^{n + k}

valamilyen

k, n \geq 1

kitevőkre. Az egyenletet megszorozva

h^{- n}

--nel (ezt

G

--ben lehet) azt találjuk, hogy

1 = h^{k}

, és a jobb oldali

h^{k}

benne van

H

--ban (mert szorzással kapható

h

--ból), tehát

1 \in H

. Tovább szorozva

h^{- 1}

--nel azt találjuk, hogy

h^{- 1} = h^{k - 1}

, és a jobboldal továbbra is

H

--ban van, hiszen a kitevő

k - 1 \geq 0

(pozitív kitevős hatványokszorzássalkaphatók

h

--ból, és már tudjuk, hogy

h^{0} = 1

H

--ban van). Ezért a bal oldal is:

h^{- 1} \in H

1. A csoport fogalma

Megoldások