1. A csoport fogalma

Milyen szimmetriái vannaka körvonalnak? Erre a kérdésre sokféle választ adhatunk. Íme, egy lehetséges lista:

/(A)
Mindenféle szimmetriák
  1. tengelyes tükrözések (egy középponton áthaladó tengelyre)
  2. középpont körüli forgatások
  3. középpontra való tükrözés
  4. inverziók (egy olyan körre, amelyik merőleges a mi körünkre)
  5. tetszőleges egybevágósági transzformáció
  6. az eddigi szimmetriák kompozíciói

Ez a lista sok érdekes kérdést vet fel. Íme, egy ízelítő az órán felmerült kérdésekből:

/(B)
Kérdések
  1. Mit is nevezünk pontosan szimmetriának? Biztos, hogy mindenki elfogadja szimmetriáknak a felsorolt transzformációkat? Lehet, hogy többféle szimmetria fogalom létezik?
  2. Van-e még szimmetria a felsoroltakon kívül?
  3. Különböznek-e egymástól a felsorolt szimmetriák, vagy némelyik több helyen is szerepel a listán?
  4. Hogyan tudjuk eldönteni, hogy két szimmetria ugyanaz-e vagy sem? Milyen módszereket találunk a szimmetriák összehasonlítására?
  5. Pontosan mit is nevezünk egy körvonal egybevágósági transzformációjának?
  6. Mi az az inverzió?

Az órai vitában az derült ki, hogy nincs teljes egyetértés abban, ki mit hív szimmetriának. Az inverziókat például nem mindenki szerette. Ezért valóban többféle szimmetria fogalom létezik. Sikerült viszont egyetértenünk abban, hogy mik azok a dolgok, amit egyikünk sem fogad el szimmetriának, és megfogalmaztunk néhány fontos követelményt, amit elvárhatunk minden egészséges szimmetria fogalomtól. Íme:

/I. Feladat: A fenti /(A) lista melyik sorai elégítik ki a fenti kívánalmakat? (azaz melyek szimmetria--csoportok?)

Íme, néhány lehetséges szimmetria fogalom -- ki-ki válasszon magának belőle:

/(C)
Szimmetria fogalmak
/1. Megjegyzés:A figyelmes olvasónak bizonyára feltűnt, hogy a körvonal esetében a feti szimmetria fogalmak közül kettő egybeesik. A listán csupa olyan dolog szerepel, amit a következő definícióban csoportnak fogunk nevezni:
/2. Definíció: Tegyük fel, hogy van egy G alaphalmazunk, amin értelmeztünk egy kétváltozós műveletet (szorzásnak írjuk), egy egyváltozós műveletet (inverz elem képzés, −1 kitevővel jelöljük) és kijelöltük az egyik elemét (1 ∈G-vel jelöljük). Ezt a struktúrát csoportnak nevezzük, ha kielégíti a következő azonosságokat:

Általában lusták vagyunk, és a G csoportról beszélünk, persze ilyenkor -- hallgatólag -- az egész struktúrára gondolunk: alaphalmaz, műveletek és kijelölt egységelem. Ha egy csoportban valamelyik műveletnek vagy az egységelemnek van más elfogadott neve, jelölése, akkor azt bátran használjuk, nem ragaszkodunk a szorzás, inverz elnevezésekhez. Így pl. az egésszámok additív csoportjában összeadásnak hívjuk és írjuk a műveletet, 0-nak írjuk, és nullaelemnek mondjuk a kijelölt elemet.

/II. Feladat: Lássuk be, hogy a fenti /(C) listán csupa csoport szerepel.
/III. Feladat: Bizonyítsuk be, hogy egy csoportban a szorzás művelet már egyértelműen meghatározza az egységelemet, és az inverz képzést.

Ez annyira fontos, hogy tételként is kimondjuk:

/3. Tétel: Egy csoportban a szorzás művelet már egyértelműen meghatározza az egységelemet, és az inverz képzést. Ezért gyakran csak a szorzás segítségével adjuk meg a csoportot (és hallgatólag megígérjük, hogy van ehhez a szorzáshoz egység elem, és minden csoport elemnek van inverze.)
/IV. Feladat: Bizonyítsuk be, hogy az inverz elem azonosságai közül (második sor adefinícióban) elég az egyiket feltenni, a másik már automatikusan teljesül (tehát következmény).
/V. Feladat: Bizonyítsuk be, hogy a egységelem azonosságai közül (harmadik sor a definícióban) elég az egyiket feltenni -- a másik már következik belőle.
/4. Definíció: Egy G csoportot Abel csoportnak hívunk, ha a szorzása kommutatív, azaz kielégíti a következő azonoságot:
/VI. Feladat: Határozd meg, hogy a /(C) lista csoportjai közül melyek Abel csoportok.
/5. Definíció: Adott egy G csoport. Egy H⊂G részhalmazt részcsoportnak nevezünk, ha benne van az egységelem, és zárt a műveletekre nézve. Ezt a szituációt H≤G -vel jelöljük.
/6. Megjegyzés: Egy csoportban mindig van két triviális részcsoport: az egyelemű {1 }, és maga a teljes csoport. Ha hangsúlyozni akarjuk, hogy nem ezekről beszélünk, akkor nem triviális részcsoportot mondunk.
/VII. Feladat: Határozd meg, hogy a /(C) lista csoportjai közül melyik melyiknek részcsoportja!
/VIII. Feladat: Adott egy G csoport. Bizonyítsd be, hogy ha egy H⊂G véges, nem üres részhalmaz zárt a szorzásra nézve, akkor már részcsoport (tehát automatikusan tartalmazza az egységelemet, és zárt az inverz elem képzésre is). Megoldások
/7. Definíció: Egy csoport elem rendje az a legkisebb pozitív kitevő, amelyikre emelve az elemet 1-et kapunk. Ha az elem semelyik hatványa sem 1, akkor végtelen a rendje. A csoport rendje a csoport elemszáma (vagy végtelen).
/8. Definíció: Egy csoportot ciklikus csoportnak hívunk, ha egyetlen elemének összes (pozitív, negatív, és 0 kitevőjű) hatványából áll.