11. Egy kis analízis

Segítség: Lásd be, hogy az elsőrendben közelítő lineáris függvény is invertálható, és inverze első rendben közelíti ai $f^{-1}$ függvényt.

Segítség:A háromszög egyenlőtlenségből következik, hogy egy adott sebességgel mozgó pont origótól való távolsága akkor növekszik a leggyorsabban, ha egy origóból induló sugár mentén kifelé halad. És akkor közeledik leggyorsabban, ha sugárirányban befelé halad. Próbáld ezt precízen kidolgozni!

Segítség: Tekintsd az $$F\left(t\right)=\mid f\left(a\right)\mid e^{K(t-a)}$$ függvényt. Világos, hogy $F\left(a\right)=f\left(a\right)$, és minden $t$ pontban $$F^{\text{'}}\left(t\right)=K\cdot F\left(t\right)$$ Próbáld belátni, hogy $\mid f\left(t\right)\mid <F\left(t\right)$ minden $t\in (a,b]$ pontban.

Megoldás:Legyen $F$ a segítségben megadott függvény: $$F\left(t\right):=\mid f\left(a\right)\mid e^{K(t-a)}$$ Világos, hogy $F\left(a\right)=\mid f\left(a\right)\mid$ és $$F^{\text{'}}\left(a\right)=K\mid f\left(a\right)\mid >\mid f^{\text{'}}\left(a\right)\mid$$ tehát az $a$ pont egy környezetében teljesül, hogy $\mid f\left(t\right)\mid <F\left(t\right)$. Legyen $p\in (a,b]$ a legkisebb szám (ha van ilyen), amelyre nem teljesül ez a becslés - tehát $\mid f\left(p\right)\mid =F\left(p\right)$. Egyrészt $t<p$ esetén $\mid f\left(t\right)\mid <F\left(t\right)$, azaz az $\mid f\left(t\right)\mid$ grafikonja "alulról éri el" $F\left(t\right)$ grafikonját, ezért $\mid f^{\text{'}}\left(p\right)\mid \ge F^{\text{'}}\left(p\right)$ (itt használjuk a /V. Feladatot). Másrészt alkalmazhatjuk a deriváltra vonatkozó korlátunk: $$\mid f^{\text{'}}\left(p\right)\mid <K\mid f\left(p\right)\mid =K\cdot F\left(p\right)=F^{\text{'}}\left(p\right)$$ Ez ellentmondás, így hát nincs is ilyen $p$ pont, az egész $(a,b]$ intervallumon teljesül, hogy $\mid f\left(t\right)\mid <F\left(t\right)$.

Segítség: Utánozd az /VII. Feladat megoldását az $$F\left(t\right)=f\left(a\right)e^{K(t-a)}+\epsilon (t-a)e^{K(t-a)}$$ függvénnyel. Minden azon múlik, hogy $F^{\text{'}}\left(t\right)\ge K\cdot F\left(t\right)+\epsilon$.

Segítség: Használd a /VI. Feladatot - a derivált mátrix elemeinek maximumából készíts $L$-et.

Segítség:Legyen $h\left(t\right)=f\left(t\right)-g\left(t\right)$. Világos, hogy $$\mid h^{\text{'}}\left(t\right)\mid =\mid f^{\text{'}}\left(t\right)-g^{\text{'}}\left(t\right)\mid \le 2\epsilon +\mid F\left(f\right(t\left)\right)-F\left(g\right(t\left)\right)\mid <2\epsilon +L\cdot h\left(t\right)$$ Használd erre a $h$ függvényre aa /VII. Feladatot .

Segítség: Válasz: ha párhuzamosak.