12. Az exponenciális függvény

Megoldás: Legyen $A$ egy "kis" mátrix (az elemeit kicsinek képzeljük). A determinánst kifejtjük, és az $o(\mid A\mid )$ hibába gyűjtjük az összes olyan tagot, amelyikben legalább két $A$-beli elem szorzata van (hiszen azok másodrendben kicsik): $$\det (1+A)=1+tr\left(A\right)+o(\mid A{\mid }^2)$$ Ezt ellenőrizd! Ezért az $1+tr$ lineáris függvény elsőrendben közelíti a $\det$ függvényt.

Megoldás: $$\det (A+X)=\det \left(A\right)\det (1+A^{-1}X)=\det \left(A\right)(1+tr(A^{-1}X)+O(\mid X{\mid }^2\left)\right)$$ tehát a derivált: $$X\to \det \left(A\right)tr\left(A^{-1}X\right)$$

Segítség: Válasz: derivált 1-ben: $$X\to \mathrm{nX}$$ Derivált $A$-ban: $$X\to A^{n-1}X+A^{n-2}\mathrm{XA}+\dots +{\mathrm{XA}}^{n-1}$$

Segítség: Válasz: $$X\to X^g$$

Megoldás: Legyen az $A$ mátrix normája az elemek abszolút értékének összege: $$\mid A\mid =\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n\mid A_{i,j}\mid$$ Világos, hogy $\mid \mathrm{AB}\mid \le \mid A\mid \cdot \mid B\mid$. Tehát az $(1,1)$ pont környezetében $$(1+A)(1+B)=1+A+B+(\mathrm{AB}+\mathrm{BA})=1+A+B+o(\mid A\mid +\mid B\mid )$$ azaz az $(1,1)$ pontbeli derivált az összeadás fügvény: $$d\varphi (1,1)=\left\{\right(A,B)\to A+B\}$$ Általában, az $(X,Y)$ pont körül $$(X+A)(Y+B)=\mathrm{XY}+\mathrm{XB}+\mathrm{AY}+o(\mid A\mid +\mid B\mid )$$ azaz $$d\varphi (X,Y)=\left\{\right(A,B)\to \mathrm{AY}+\mathrm{XB}\}$$

Segítség: Válasz: $$X\to [X,g]$$

Segítség: Válasz: $(X,Y)\to 0$. Két 1-hez közeli mátrix kommutátora csak másodrendben tér el 1-től.

Segítség: Inverze: $e^{-A}$.

Segítség: Válasz: $A$

Segítség: A válasz: minden esetben az $A$ mátrixot kell kapni.

Segítség: Egyes esetekben kézzel is ki lehet számítani az $e^{\mathrm{tA}}$ mátrixot. Általában egyszerűbb az érintő vektorok és az egyparaméteres részcsoportok közti kapcsolatra hivatkozni - így az állítás következik az előző két feladatból.