12. Az exponenciális függvény

Csoport-műveletek deriváltja

$\mathrm{gl}(n,ℝ)$ egy $n^2$ dimenziós vektortér, ezért egy általános $\mathrm{gl}(n,ℝ)\to \mathrm{gl}(n,ℝ)$ lineáris leképezést egy $n^2\times n^2$-es mátrixszal adhatunk meg. A mi ennél sokkal szerencsésebbek leszünk: a mi példáinkban csupa olyan leképezés szerepel majd, amit a mátrix szorzás segítségével jóval egyszerűbb alakban írhatunk.

GL(n,R) exponenciális függvénye

Az $n\times n$-es mátrixok egy $n^2$ dimenziós vektorteret alkotnak. Az exponenciális függvény tehát egy ${ℝ}^{n^2}\to {ℝ}^{n^2}$ függvény. Ezért a deriváltja, azaz $d\exp \left(A\right)$, egy lineáris függvény, amit elvileg egy $n^2\times n^2$ méretű mátrixszal írhatnánk le. Szerencsénk van, a mi deriváltunk egy nagyon speciális alakú függvény: egy $n\times n$-es mátrixszal való szorzás, amit könnyebben megadhatunk.

Egyparaméteres részcsoportok GL(n,R)-ben

Ezt ilyen általánosságban nem bizonyítjuk. Belátjuk azonban azt, hogy differenciálható homomorfizmus mindig 1-paraméteres részcsoport. Valóban: legyen $\varphi :ℝ\to \mathrm{GL}(n,ℝ)$ egy differenciálható homomorfizmus - tehát egy differenciálható görbe. Legyen $v:=d\varphi \left(0\right)$ az érintő vektora $1$-ban - ez egy $\mathrm{gl}(n,ℝ)$-beli mátrix. Mivel homomorfizmusról van szó, a $g:=\varphi \left(t\right)$ pontban az érintő vektor: $$\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\frac{\varphi (t+\epsilon )-\varphi \left(t\right)}{\epsilon }=\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\varphi \left(t\right)\frac{\varphi \left(\epsilon \right)-1}{\epsilon }=gd\varphi \left(0\right)=\mathrm{gv}$$ Tehát a görbe minden pontban érinti a $g\to \mathrm{gv}$ vektormezőt. Ugyanakkor a $t\to e^{\mathrm{tv}}$ görbe is érinti ezt a vektormezőt. A Picard-Lindelöf tétel miatt egyetlen ilyen görbe indul ki az egységmátrixból - tehát a két görbe megegyezik.

1. $A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)⟶e^{\mathrm{tA}}=\left(\begin{array}{cc}{e}^t& 0\\ 0& e^t\end{array}\right)$ origó középpontú nagyítások
2. $A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)⟶e^{\mathrm{tA}}=\left(\begin{array}{cc}{e}^t& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ 9/(A) $y$ tengelyre merőleges irányú nyújtások
3. $A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)⟶e^{\mathrm{tA}}=\left(\begin{array}{cc}\cos \left(t\right)& \sin \left(t\right)\\ -\sin \left(t\right)& \cos \left(t\right)\end{array}\right)$ origó körüli forgatások
4. $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 1\end{array}\right)⟶e^{\mathrm{tA}}=e^t\left(\begin{array}{cc}\cos \left(t\right)& \sin \left(t\right)\\ -\sin \left(t\right)& \cos \left(t\right)\end{array}\right)$ origó körüli forgatva nyújtások
5. $A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)⟶e^{\mathrm{tA}}=\left(\begin{array}{cc}ch\left(t\right)& sh\left(t\right)\\ \mathrm{sh}\left(t\right)& \mathrm{ch}\left(t\right)\end{array}\right)$ 3/XII. Lorentz transzformációk
6. $A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)⟶e^{\mathrm{tA}}=\left(\begin{array}{cc}1& t\\ 0& 1\end{array}\right)$ 9/(A) nyírások
7. $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)⟶e^{\mathrm{tA}}=e^t\left(\begin{array}{cc}1& t\\ 0& 1\end{array}\right)$

Exponenciális leképezés mátrix Lie csoportokban

Az exponenciális leképezést és az egyparaméteres részcsoportokat nem csak $\mathrm{GL}(n,ℝ)$-ben lehet definiálni, hanem tetszőleges Lie csoportban. Mivel mi csak mátrix Lie csoportokkal foglalkoztunk, azért most is csak ezekre szorítkozunk.

Mi nem fogjuk használni a műveleteket - de a bizonyítás könnyű, kár lenne kihagyni: $g$ azért zárt a műveletekre, mert korábban mind a konjugálást, mind pedig a Lie zárójelet megkaptuk, mint egy csoport-műveletekkel felírt függvény deriváltját (lásd: /VII. Feladat és /IX. Feladat.)

$G$ egyparaméteres részcsoportjai - a definíció szerint - eredetileg $\mathrm{GL}(n,ℝ)$-ben laknak. Lássuk be, hogy valójában $G$ tartalmazza őket! A /8. Tétel bizonyításában láttuk a $h\to \mathrm{hA}$ vektormezőt - ez az egész $\mathrm{GL}(n,ℝ)$-en értelmes. Láttuk, hogy a mi egyparaméteres részcsoportunk az egyetlen olyan görbe, amelyik 1-ből indul, és az érintője minden pontban megegyezik a vektormező által előírt vektorral. Másrészt $G$ részsokaság, tehát bármely pont környezetében "úgy néz ki", mint ${ℝ}^m$. Tehát ugyanez a vektormező $G$-nbelül is ad egy kezdeti érték problémát. A Picard-Lindelöf tétel a $G$ részsokaságra is teljesül, tehát van $G$-n belül is egy megoldás görbe. Mivel csak 1 megoldásgörbe létezhet, azért az eredeti egyparaméteres részcsoport kénytelen $G$-ben lenni.

Láttuk, hogy az origón áthaladó $g$-beli egyenesek képei $G$-ben vannak (ők az egyparaméteres részcsoportok). Mivel ezek az egyenesek szépen lefedik $g$-t, azért $\exp \left(g\right)\subset G$. Az /5. Tétel szerint az exponenciális függvény deriváltja az origóban éppen az identitás (1-gyel való szorzás), ami injektív. Mivel $G$ és $g$ ugyanannyi dimenziós, az Inverz Függvény Tétel (11/19. Tétel) miatt egy kis környezetben valóban bijekció.