13. Mátrix csoportok

Ebben a fejezetben különféle mátrix Lie csoportokat vizsgálunk. Mindegyiknek meghatározzuk a Lie algebráját (azaz az 1-beli érintő terét), és a dimenzióját.

• Jelölése: $\mathrm{GL}(n,ℝ)$
• $n\times n$-es invertálható mátrixok
• Lie algebrája: $\mathrm{gl}(n,ℝ)$, az $n\times n$-es mátrixok tere.
• dimenziója: $n^2$

• jelölése: $\mathrm{SL}(n,ℝ)$$\subset \mathrm{GL}(n,ℝ)$
• Az 1 determinánsú mátrixok csoportja.
• Lie algebrája: $\mathrm{sl}(n,ℝ)$, az $n\times n$-es 0 nyomú mátrixok tere.
• dimenziója: $n^2-1$

• Jelölése: $\mathrm{GL}(n,ℂ)$
• $n\times n$-es komplex, invertálható mátrixok
• Lie algebrája: $\mathrm{gl}(n,ℂ)$, az $n\times n$-es komplex mátrixok tere.
• dimenziója: $2n^2$

• Jelölése: $\mathrm{SL}(n,ℂ)$
• $n\times n$-es komplex, 1 determinánsú, invertálható mátrixok
• Lie algebrája: $\mathrm{sl}(n,ℂ)$, az $n\times n$-es komplex, 0 nyomú mátrixok tere.
• dimenziója: $2n^2-2$

${ℝ}^n$ Euklideszi tér: $x,y$ távolsága $\mid x-y\mid$, skaláris szorzata $⟨x,y⟩$: $$\mid x\mid :=\sqrt{\sum _{i=1}^n{x}_i^2},⟨x,y⟩:=\sum _{i=1}^n{x}_{\mathrm{iy}}{}_i$$ Két vektor ortogonális (merőleges), ha a skalár-szorzatuk nulla.

• Jelölése: $O\left(n\right)$
• $n\times n$-es ortogonális mátrixok
• Lie algebrája: $\mathrm{so}\left(n\right)$, az $n\times n$-es antiszimmetrikus mátrixok tere: azok az $M$ mátrixok, amelyekre $M^T=-M$ teljesül. (Nem írtuk el, tényleg $\mathrm{so}$ - az ortogonális csoport nem összefüggő, ugyanaz a Lie algebrája, mint az egység komponensé.)
• dimenziója: $\frac{n(n-1)}{2}$

• Jelölése: $\mathrm{SO}\left(n\right)$
• $n\times n$-es 1 determinánsú ortogonális mátrixok
• Lie algebrája: $\mathrm{so}\left(n\right)$, az $n\times n$-es antiszimmetrikus mátrixok tere: azok az $M$ mátrixok, amelyekre $M^T=-M$ teljesül.
• dimenziója: $\frac{n(n-1)}{2}$

A ${ℂ}^n$ tér: $x,y$ távolsága $\mid x-y\mid$, skaláris szorzata $⟨x,y⟩$: $$\mid x\mid :=\sqrt{\sum _{i=1}^n\mid x_i{\mid }^2},⟨x,y⟩:=\sum _{i=1}^n{x}_i{\bar{y}}_i$$ Két vektor ortogonális (merőleges), ha a skalár-szorzatuk nulla.

• Jelölése: $U\left(n\right)$
• $n\times n$-es unitér mátrixok
• Lie algebrája: $u\left(n\right)$, az $n\times n$-es anti-önadjungált mátrixok tere: azok az $M$ mátrixok, amelyekre $M^{*}=-M$ teljesül.
• dimenziója: $n^2$

• Jelölése: $\mathrm{SU}\left(n\right)$
• $n\times n$-es 1 determinánsú unitér mátrixok
• Lie algebrája: $\mathrm{su}\left(n\right)$, az $n\times n$-es komplex, 0 nyomú anti-önadjungált mátrixok tere: azok a 0 nyomú $M$ mátrixok, amelyekre $M^T=-M$ teljesül.
• dimenziója: $n^2-1$

Pályák, dimenziók

Tekintsük az ${ℝ}^n\to {ℝ}^m$ lineáris leképezések terét. Két leképezést ekvivalensnek tekintünk, ha bázis transzformációkkal (mindkét téren) egymásba vihetők. Könnyen látható, hogy két leképezés pontosan akkor ekvivalens, ha a rangjuk megegyezik.

Ha mátrix alakban írjuk, akkor a lineáris leképezések terét azonosíthatjuk az $n\times m$-es mátrixok terével. Egy bázis transzformáció ${ℝ}^n$-en nem más, mint egy $n\times n$-es mátrixszal való szorzás bal oldalról. És egy bázis transzformáció ${ℝ}^m$-en nem más, mint egy $m\times m$-es mátrixsz inverzével való szorzás jobboldalról. Tehát egy kétoldali bázis transzformációt a $$G=GL(n,ℝ)\times GL(n,ℝ)$$ csoport egy eleme ír le - tehát ez a $G$ csoport hat az $n\times m$-es mátrixok terén a következő módon: $$(g,h):A\to {\mathrm{gAh}}^{-1}$$ Ennek a csoport-hatásnak a pályái nem mások, mint az előbb említett ekvivalencia osztályok.

Ezért az $r$ rangú $n\times m$-es mátrixok egy pályát alkotnak - ezért ez egy részsokaság minden $r$-re. Órán kiszámoltuk a dimenzióját: