14. Új feladatok: április 5.

Megoldások

/III. Feladat: Keresd meg a −1 összes négyzetgyökét a kvaterniók körében!
Segítség: Két dimenziós gömbfelületet kell kapnod!
/V. Feladat: A komplex számok egy két dimenziós (kommutatív) algebrát alkotnak a valós számok testje felett. Ezt az algebrát sok példányban megtalálhatjuk a kvaterniók között, pl. az {a+bi}, az {a+bj}, illetve az {a+bk} alakú számok mind a komplex számok testjével izomorf részalgebrát alkotnak. Keresd meg az összes ilyen részalgebrát!
Segítség: −1 minden négyzetgyökéből felépíthetsz egy komplex számtestet.
/VI. Feladat: Lásd be, hogy minden kvaternió kielégít egy legfeljebb másodfokú valós együtthatós polinom egyenletet!
Segítség: Benne van valamelyik komplex számtestben.
/VII. Feladat: Keresd meg az x n=1 egyenlet összes megoldását a kvaterniók körében!
Segítség: Minden megoldás benne van valamelyik komplex számtestben.
/VIII. Feladat: Lásd be, hogy ha egy kvaternió nem valós, akkor pontosan két négyzetgyöke van!
Segítség: Egy négyzetgyökön keresztül egyetlen komplex számtest halad, és az tartalmazza az eredeti számot is. Tehát minden négyzetgyök ugyanabban a komplex számtestben lakik.
/XII. Feladat:
A szorzás deriváltja
Számítsd ki a ϕ:GL(n,ℝ)×GL(n,ℝ)→GL(n,ℝ), ϕ(A,B)=AB függvény deriváltját az (1 ,1 ) pontban (itt 1 az egységmátrixot jelöli)! Mi a derivált függvény?
Megoldás: Legyen az A mátrix normája az elemek abszolút értékének összege: ∣A∣=∑ i=1 n∑ j=1 n∣A i,j∣ Világos, hogy ∣AB∣≤∣A∣⋅∣B∣. Tehát az (1 ,1 ) pont környezetében (1 +A)(1 +B)=1 +A+B+(AB+BA)=1 +A+B+o(∣A∣+∣B∣) azaz az (1 ,1 ) pontbeli derivált az összeadás fügvény: dϕ(1 ,1 )={(A,B)→A+B} Általában, az (X,Y) pont körül (X+A)(Y+B)=XY+XB+AY+o(∣A∣+∣B∣) azaz dϕ(X,Y)={(A,B)→AY+XB}