14. Új feladatok: április 5.

/I. Feladat: Lásd be, hogy ha α,β kvaterniók, akkor ∣α⋅β∣=∣α∣⋅∣β∣.
/II. Feladat: Számítsd ki néhany kvaternió szorzatát, hányadosát.
/III. Feladat: Keresd meg a −1 összes négyzetgyökét a kvaterniók körében! Segítség
/IV. Feladat: A kvaterniók négy dimenziós algebrát alkotnak a valós számok testje fölött. Az algebra centruma azon elemek halmaza, amelyek mindenkivel felcserélhetők. Lásd be, hogy a kvaternió algebra centruma éppen a valós számok halmaza.
/V. Feladat: A komplex számok egy két dimenziós (kommutatív) algebrát alkotnak a valós számok testje felett. Ezt az algebrát sok példányban megtalálhatjuk a kvaterniók között, pl. az {a+bi}, az {a+bj}, illetve az {a+bk} alakú számok mind a komplex számok testjével izomorf részalgebrát alkotnak. Keresd meg az összes ilyen részalgebrát! Segítség
/1. Érdekesség: A /V. . Feladatban láttuk, hogy a kvaternió algebra a komplex számtest egy gömbfelületnyi különböző példányát tartalmazza. Az is látható, hogy ezek mind tartalmazzák a valós számokat, és nincs más közös pontjuk, együttvéve lefedik az egész kvaternió algebrát. Másképpen fogalmazva: egy nem valós kvaternió a gömbfelületnyi komplex számtest közül pontosan egyben van benne.
/VI. Feladat: Lásd be, hogy minden kvaternió kielégít egy legfeljebb másodfokú valós együtthatós polinom egyenletet! Segítség
/VII. Feladat: Keresd meg az x n=1 egyenlet összes megoldását a kvaterniók körében! Segítség
/VIII. Feladat: Lásd be, hogy ha egy kvaternió nem valós, akkor pontosan két négyzetgyöke van! Segítség
/IX. Feladat: Számítsd ki a ϕ:GL(n,ℝ)→GL(n,ℝ), ϕ(A)=A n függvény deriváltját az egységmátrixban! Érvényes-e az eredményed negatív n-re is? Mi a deriváltja más pontokban?
/X. Feladat: Legyen f egyváltozós polinom. Értelmezhetjük egy f:GL(n,ℝ)→GL(n,ℝ) függvényként. Számítsd ki a deriváltját az egységmátrixban!
/XI. Feladat: Legyen X∈GL(n,ℝ) egy rögzített mátrix. Számítsd ki a ϕ:GL(n,ℝ)→GL(n,ℝ), ϕ(A)=XAX −1 függvény deriváltját az egységmátrixban!
/XII. Feladat:
A szorzás deriváltja
Számítsd ki a ϕ:GL(n,ℝ)×GL(n,ℝ)→GL(n,ℝ), ϕ(A,B)=AB függvény deriváltját az (1 ,1 ) pontban (itt 1 az egységmátrixot jelöli)! Mi a derivált függvény? Megoldások
/XIII. Feladat:
A konjugálás deriváltja
Legyen X∈GL(n,ℝ) egy rögzített mátrix. Számítsd ki a ϕ:GL(n,ℝ)→GL(n,ℝ), ϕ(A)=AXA −1 függvény deriváltját az egységmátrixban!.
/XIV. Feladat:
A kommutátor deriváltja
Számítsd ki a ϕ:GL(n,ℝ)×GL(n,ℝ)→GL(n,ℝ), ϕ(A,B)=ABA −1 B −1 függvény deriváltját az (1 ,1 ) pontban (itt 1 az egységmátrixot jelöli)! Ezt a ϕ függvényt hívják kommutátornak, szokásos jelölése: [A,B].
/XV. Feladat: Lásd be, hogy az exponenciális leképezés felcserélhető a konjugálással: Xe AX −1 =e XAX −1 ahol X és A egyforma méretű négyzetes mátrixok, és X invertálható.