15. Egyebek

Megoldás: Legyen $H$ egy csoport,és $F,G\le H$ részcsoportok.

• Mivel $1\in F$ és $1\in G$ azért $1\in F\cap G$.
• Ha $a\in F\cap G$, akkor $a\in F$ és $a\in G$, ezért az inverz $a^{-1}\in F$ és $a^{-1}\in G$, tehát $a^{-1}\in F\cap G$.
• Ha $a,b\in F\cap G$, akkor $a,b\in F$ és $a,b\in G$, ezért a szorzat $\mathrm{ab}\in F$ és $\mathrm{ab}\in G$, tehát $\mathrm{ab}\in F\cap G$.

Ezzel beláttuk, hogy két részcsoport metszete szintén részcsoport. Ebből teljes indukcióval következik, hogy véges sokrészcsoport metszete is mindig részcsoport. Az is igaz, hogy végtelen sok részcsoport metszete is részcsoport, és a bizonyítás is nagyon hasonlít -- csupán kicsit óvatosabban kell fogalmazni.

Részcsoportok uniója nem feltétlenül részcsoport. Például $O\left(2\right)$-ben válasszunk két különböző tükrözést: $s,t\in O\left(2\right)$. Ekkor $\{1,s\}$ és $\{1,t\}$ részcsoportok, de $\mathrm{ts}\notin \{1,t,s\}$ miatt az uniójuk nem az.