2. A kör egybevágóságai: O(2), SO(2)

Ebben a fejezetben a körvonal egybevágósági transzformációival foglalkozunk.

/1. Definíció: A sík önmagára való távolság--tartó leképezéseit egybevágósági transzformációnak nevezzük. Az olyan egybevágósági transzformációkat, amelyek egy K egy síkbeli alakzatot saját magára képeznek, a K alakzat egybevágósági transzformációjának nevezzük. Térbeli, és magasabb dimenziós alakzatok egybevágósági transzformációit hasonló módon definiáljuk.
/2. Megjegyzés: Egy K síkbeli alakzat önmagára való távolságtartó leképezései mindig kiterjeszthetők az egész sík egybevágósági transzformációjává. Hasonló állítás mondható térbeli, és magasabb dimenziós alakzatokról.
/I. Feladat: Lássuk be, hogy egy rögzített alakzat összes egybevágósági transzformációi csoportot alkotnak a kompozícióra nézve.
/3. Definíció: Egy körvonal egybevágóságai csoportot alkotnak, ezt a csoportot kétféleképpen szokták jelölni: O(2 ) és U(1 ). Egy körvonal irányítást tartó egybevágóságai, azaz a forgatások egy részcsoportot alkotnak, ezt a csoportot háromféleképpen is szokás jelölni: SO(2 ), U(1 ) és S 1 .
/II. Feladat: Eddig a körnek háromféle egybevágóságával találkoztunk: elforgatások, tükrözések és az identitás. Különböznek-e ezek egymástól? Miért? Megoldások
/III. Feladat: Bizonyítsuk be, hogy két tengelyes tükrözés kompozíciója mindig egy elforgatás.
/IV. Feladat: Állítsunk elő minden elforgatást mint két tükrözés kompozíciója! Hányféleképpen lehet előállítani?
/4. Konvenció: Most rögzítünk egy K körvonalat a síkban, O jelöli a középpontját.
/V. Feladat: Rögzítsünk egy P∈K pontot a körön. Lássuk be, hogy K--nak pontosan két olyan egybevágósága van, amelyik a P pontot helyben hagyja: az identitás, és az OP tengelyre való tükrözés. Megoldások
/VI. Feladat: Lássuk be, hogy a körvonal minden egybevágósága vagy elforgatás az O körül (valamekkora szöggel), vagy tükrözés egy O ponton áthaladó tengelyre. Megoldások

A feladatok tanulságait a következő tétel foglalja össze:

/5. Tétel: Egy kör egybevágóságai a következőképpen osztályozhatók:
/VII. Feladat: Próbáld meg lerajzolni a kör egybevágóságainak csoportját: a rajzon minden transzformációnak pontosan egy pont feleljen meg, és ez a megfeleltetés mindkét irányban folytonos legyen! Megoldások
/VIII. Feladat: Vizsgáljuk meg az egybevágósági transzformációk rendjét! Hány végtelen rendű elem van? Hány véges rendű elem van? Hány n rendű elem van?
/IX. Feladat: Keressünk minél több részcsoportot O(2 )-ben!

/(A)
O(2) néhány véges részcsoportja
/X. Feladat: Lásd be, hogy az /(A) listán minden sor valóban részcsoport!
/XI. Feladat: Kaphatunk-e véges részcsoportot, ha két nem merőleges tengelyből indulnk ki?
/XII. Feladat: Határozd meg az /(A) listán szereplő részcsoportok rendjét!
/XIII. Feladat: Az /(A) lista mely soraiban van Abel csoport?
/XIV. Feladat: Van-e olyan részcsoport, amelyik többször szerepel az /(A) listán?
/XV. Feladat: Az /(A) lista mely sorai adnak meg végtelen sok részcsoportot?
/XVI. Feladat: Lásd be, hogy O(2 ) minden véges részcsoportja szerepel a listán!
/6. Definíció: Egy szabályos n oldalú sokszög összes egybevágóságainak csoportját 2 n elemű diéder csoportnak hívjuk, D 2 n-nel jelöljük.