3. Poincaré és Lorentz csoport, O(1,1), O(1,3)

Megoldás: Igen.Például az eltolások benne vannak a Poincaré csoportban, de nem $O(1,3)$-ban.

Megoldás: Az összes bijektív transzformációk csoportot alkotnak, elég tehát belátnunk, hogy mind a Poincaré csoport, mind pedig $O(1,1)$ részcsoport lesz. Mindketten tartalmazzák az identitást, tehát csak azt kell belátnunk, hogy mindketten zártak a kompozícióra és a inverz elemképzésre nézve. Világos, hogy a négyes távolság négyzetét megtartó transzformációk kompozíciója, inverze szintén megtartja a négyes távolság négyzetét. Hasonlóan, az origót helyben hagyó transzformációk kompozíciója, inverze szintén helyben hagyja az origót.

Megoldás: Ez egy egyszerű számolás akár a Lorentz transzformáció definíciójában szereplő képletet, akár a mátrix alakot használjuk. Most a mátrix alakot választjuk. Be kell látni, hogy a két Lorentz transzformáció mátrixának szorzata megfelelő alakú: $$\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}\left(\begin{array}{cc}1& -v\\ -v& 1\end{array}\right)\cdot \frac{1}{\sqrt{1-w^2}}\left(\begin{array}{cc}1& -w\\ -w& 1\end{array}\right){=}^{?}\frac{1}{\sqrt{1-{\left(\frac{v+w}{1-\mathrm{vw}}\right)}^2}}\left(\begin{array}{cc}1& -\frac{v+w}{1-\mathrm{vw}}\\ -\frac{v+w}{1-\mathrm{vw}}& 1\end{array}\right)$$ Látható, hogy mindkét oldal determinánsa 1, és minden konstans szorzó pozitív. Ezért elég belátni, hogy a bal oldalon szereplő két mátrix szorzata egy pozitív konstans szorzó erejéig megegyezik a jobb oldalon látható mátrixszal. Íme: $$\left(\begin{array}{cc}1& -v\\ -v& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}1& -w\\ -w& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1-\mathrm{vw}& -v-w\\ -v-v& 1-\mathrm{vw}\end{array}\right)=(1-\mathrm{vw})\left(\begin{array}{cc}1& -\frac{v+w}{1-\mathrm{vw}}\\ -\frac{v+w}{1-\mathrm{vw}}& 1\end{array}\right)$$ Ezzel beláttuk az állítást. Persze nem szükséges a determinánsra hivatkozni, közvetlenül összeszorozhatjuk a konstans tényezőket: $$\frac{1-\mathrm{vw}}{\sqrt{(1-v^2)(1-w^2)}}=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{(1-\mathrm{vw}{)}^2-(1-v^2\left)\right(1-w{)}^2}{(1-\mathrm{vw}{)}^2}}}=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{(1-2\mathrm{vw}+v^2{w}^2)-(1-v^2-w^2+v^2{w}^2)}{(1-\mathrm{vw}{)}^2}}}=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{-2\mathrm{vw}+v^2+w^2}{(1-\mathrm{vw}{)}^2}}}=\frac{1}{\sqrt{1-{\left(\frac{v+w}{1-\mathrm{vw}}\right)}^2}}$$

1. Megoldás: A Lorentz transzformációk azonosíthatók a $(-1,1)$ intervallum számaival, a művelet: $$u*v:=\frac{u+v}{1+\mathrm{uv}}$$ Ez nyilván szimmetrikus, egységelem a $0$, és $v$ inverze $-v$.

2. Megoldás: A Lorentz transzformációk azonosíthatók az $$\left(\begin{array}{cc}A& B\\ B& A\end{array}\right)$$ alakú mátrixokkal, ahol $A,B$ valós számok, $A>0$, és a determináns: $A^2-B^2=1$. Világos, az egység mátrix köztük van, és ilyen mátrixok szorzata, inverze is ilyen alakú: $$\left(\begin{array}{cc}A& B\\ B& A\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}C& D\\ D& C\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{AC}+\mathrm{BD}& \mathrm{AD}+\mathrm{BC}\\ \mathrm{BC}+\mathrm{AD}& \mathrm{AC}+\mathrm{BD}\end{array}\right)$$ $${\left(\begin{array}{cc}A& B\\ B& A\end{array}\right)}^{-1}=\frac{1}{A^2-B^2}\left(\begin{array}{cc}A& -B\\ -B& A\end{array}\right)$$ A determinánsok is könnyen ellenőrizhetők: mindkettő 1. Azt kell még ellenőrizni, hogy a főátlóban valóban pozitív számok állnak: $A>0$ feltétel volt, és $\mathrm{AC}+\mathrm{BD}>0$ is teljesül, hiszen a determinánsok 1 voltából látszik, hogy $A>\mid B\mid$ és $C>\mid D\mid$, tehát $\mathrm{AC}>\mid \mathrm{BD}\mid$. Ezzel beláttuk, hogy a szorzás és az inverz képzés nem vezet ki az ilyen mátrixok közül: valóban csoportot kaptunk. A kommutativitás látható a fent kiszámolt szorzat mátrixból.

Megoldás: A mátrixból $ch\alpha$ kiemelhető: $$\left(\begin{array}{cc}ch\alpha & -sh\alpha \\ -sh\alpha & ch\alpha \end{array}\right)=ch\alpha \left(\begin{array}{cc}1& -\frac{sh\alpha }{ch\alpha }\\ -\frac{sh\alpha }{ch\alpha }& 1\end{array}\right)=\frac{1}{\sqrt{1-{\mathrm{th}}^2\alpha }}\left(\begin{array}{cc}1& -\cdot th\alpha \\ -th\alpha & 1\end{array}\right)$$ Ebből $th\alpha =v$ helyettesítéssel éppen a Lorentz transzformáció mátrixát kapjuk.

Megoldás: Az origótól mért négyes távolság négyzete éppen $t^2-x^2$, tehát $O(1,1)$ transzformációi nem változtatják meg.