4. Homomorfizmus, izomorfizmus

A Lorentz transzformációkról szóló 3/XII. feladatban csoportok közti művelet-tartó leképezést építettünk. Ezekről szól akövetkező két definíció.

/1. Definíció: Legyenek

G

H

csoportok. Egy

ϕ : G \to H

leképezést csoport homomorfizmusnak nevezünk, ha művelettartó, azaz teljesíti a következő azonosságokat:

ϕ (ab) = ϕ (a) ϕ (b)

ϕ (a^{- 1}) = ϕ (a)^{- 1}

ϕ (1) = 1

/2. Megjegyzés: A fenti definícióban az egyenletek bal oldalán a műveletek, és az egységelem a

G

csoportban élnek, a jobb oldalon viszont -- értelemszerűen -- a

H

csoportban. Általában, ha a környezetből egyértelmű, akkor nem szoktuk külön jelölni, hogy egyes szorzásokat, inverz elemet, egységelemeket melyik csoportban kell kiszámolni.

/I. Feladat: Legyenek

G

H

csoportok. Lásd be, hogy ha egy

ϕ : G \to H

függvény szorzás tartó:

ϕ (ab) = ϕ (a) ϕ (b)

, akkor homomorfizmus. Megoldások

/3. Definíció: Csoport izomorfizmusnak nevezzük az olyan csoport homomorfizmusokat (lásd a /1. definíciót), amelyeknek van inverze. Egy csoport saját magával való izomorfizmusait automorfizmusnak nevezzük.

/4. Megjegyzés: Az izomorf csoportokat -- algebrai szempontból -- azonosnak tekintjük, a csoportok "belső" tulajdonságaival nem is lehet őket megkülönböztetni egymástól. Sok példánk lesz látszólag nagyon különböző, de mégis izomorf csoportokra. Egyenlőre nem követelünk meg az izomorfizmusainktól sem folytonosságot, sem más esetleg "természetes"-nek látszó jótulajdonságot.

/II. Feladat: Legyenek

G

H

csoportok,

ϕ : G \to H

egy izomorfizmus. Lásd be, hogy az inverze is izomorfizmus.

/III. Feladat: Lásd be, hogy izomorfizmus erejéig egyetlen kételemű csoport van:

{1, - 1}

a szorzásra nézve.

/IV. Feladat: Lásd be, hogy két ciklikus csoport pontosan akkor izomorf, ha ugyanakkora a rendjük.

/V. Feladat: Legyen

G

a valós számok halmaza, és lássuk el a következő "művelettel":

a * b = \frac{a + b}{1 - ab}

Ez majdnem csoporttá teszi. Miért nem csoport? Hogyan lehetne mégis csoportot csinálni ebből a képletből? Megoldások

/5. Definíció: Néhány fontos csoport, és a szokásos jelölésük:

A valós számok additív csoportja: alaphalmaz az összes valós szám, művelet az összeaadás, jele: $ℝ$ vagy $ℝ^{1}$ .
A (nem nulla) valós számok multiplikatív csoportja: alaphalmaz a nem nulla valós számok halmaza, művelet a szorzás, jele: $ℝ^{*}$ .
Az $n$ dimenziós (valós) vektortér: alaphalmaz egy $n$ dimenziós (valós) vektortér vektorai, művelet az összeadás, jele: $ℝ^{n}$ .
A racionális számok additív csoportja: alaphalmaz az összes racionális szám, művelet az összeaadás, jele: $ℚ$ .
Az egészszámok additív csoportja: alaphalmaz az összes egész szám, művelet az összeaadás, jele: $ℤ$ . Hívják végtelen ciklikus csoportnak is.
A rács $ℝ^{n}$ -ben: alaphalmaz egy $n$ dimenziós (valós) vektortér egész koordinátájú vektorai, művelet az összeadás, jele: $ℤ^{n}$ . Hívják még $n$ rangú szabad Abel csoportnak is.

/VI. Feladat: Izomorf-e

ℝ^{1}

és

S^{1}

egymással? Megoldások

/VII. Feladat: A pozitív valós számok csoportot alkotnak a szorzásra nézve. Ez a csoport kivel izomorf az /5. definíció listáján? Megoldások

/VIII. Feladat: Izomorfak-e

ℝ^{1}

és

ℝ^{*}

egymással? Megoldások

/IX. Feladat: Keresd meg az összes folytonos

ℝ^{1} \to S^{1}

homomorfizmust. Van-e még más (nem folytonos) homomorfizmus?

/X. Feladat: Izomorf-e

ℝ^{1}

és

ℝ^{2}

egymással?