5. A sík egybevágóságai, mozgatásai

Korábban már definiáltuk a síkbeli egybevágóságokat (a 2/1. definícióban). Most megismételjük:

/1. Definíció: A sík önmagára való távolság--tartó leképezéseit egybevágósági transzformációnak nevezzük. Az irányítás tartó egybevágóságokat mozgatásoknak hívjuk.

/(A)
Példák síkbeli egybevágóságokra:
  1. identitás
  2. eltolások
  3. elforgatások (bármelyik középpont körül
  4. tengelyes tükrözések
  5. csúsztatva tükrözés: egy tengelyre tükrözünk, utána a tengellyel párhuzamosan eltolunk
  6. a fentiek kompozíciói
/I. Feladat: Lásd be, hogy a síkbeli egybevágóságok csoportot alkotnak! Megoldások
/II. Feladat: Lásd be, hogy a sík irányítás tartó egybevágóságai csoportot alkotnak! Megoldások
/III. Feladat: Adott a síkban két (különböző) pont: P, Q; és adott két távolság: p, q. Lásd be, hogy legfeljebb két olyan pont van a síkban, amelynek távolsága P-től és Q-tól éppen p illetve q. Milyen p, q értékre lesz csak egy ilyen pont? Mikor nem lesz egy sem? Megoldások
/IV. Feladat: Lásd be, hogy ha egy síkbeli mozgatás két pontot helyben hagy, akkor minden pontot helyben hagy!
/V. Feladat: Legyenek PQ‾ és RS‾ egyforma hosszú szakaszok a síkban. Lásd be, hogy pontosan egy olyan (síkbeli) mozgatás van, amelyik a P, Q pontokat rendre az R, S pontokba viszi. Megoldások
/VI. Feladat: Legyenek PQ‾ és RS‾ egyforma hosszú szakaszok a síkban. Lásd be, hogy pontosan két olyan (síkbeli) egybevágósági transzformáció van, amelyik a P, Q pontokat rendre az R, S pontokba viszi. Megoldások
/VII. Feladat: A 2/IV. feladatban már láttuk, hogy egy elforgatás mindig felírható két tengelyestükrözés kompozíciójaként. Lásd be, hogy az eltolások is felírhatók két tengelyes tükrözés kompozíciójaként!
/VIII. Feladat: Lásd be, hogy két tengelyes tükrözés kompozíciója mindig vagy eltolás, vagy elforgatás, vagy az identitás. Mitől függ, hogy melyik? Segítség
/IX. Feladat: Lásd be, hogy két forgatás kompozíciója vagy forgatás, vagy eltolás, vagy az identitás. Mitől függ, hogy melyik? Segítség
/X. Feladat: Lásd be, hogy egy (valódi) forgatás és egy eltolás kompozíciója ismét forgatás lesz. Mi az új forgáscentrum? Segítség
/XI. Feladat: Lásd be, hogy minden síkbeli mozgatás vagy egy eltolás, vagy egy forgatás, vagy az identitás! Megoldások

A fenti feladatokat összefoglalva kimondhatjuk:

/2. Tétel: A síkbeli mozgatások a következő képpen osztályozhatók:
/XII. Feladat: Lásd be, hogy három tükrözés kompozíciója mindig vagy tükrözés, vagy csúsztatva tükrözés!
/XIII. Feladat: Lásd be, hogy minden síkbeli egybevágóság vagy egy eltolás, vagy egy forgatás, vagy egy tükrözés, vagy egy csúsztatva tükrözés, vagy pedig az identitás!

A fenti feladatokat összefoglalva kimondhatjuk:

/3. Tétel: A síkbeli egybevágósági transzformációk így osztályozhatók:

/(B)
részcsoport-jelöltek a sík egybevágóságai között
  1. Egy irányú eltolások.
  2. Összes eltolás.
  3. Két eltolás által generált részcsoport.
  4. Adott pont körüli elforgatások.
  5. Összes elforgatások.
  6. Adott kört önmagába képező egybevágóságok.
  7. Adott pontot fixen hagyó egybevágóságok.
  8. Adott szabályos sokszög szimmetriái.
  9. Adott szabályos háromszög-rács szimmetriái.
/XIV. Feladat: A /(B) listán mely sorok adnak meg részcsoportot? Segítség
/XV. Feladat: A /(B) listán mely részcsoportok közt van folytonos izomorfizmus? Vannak-e izomorf, de nem folytonosan izomorf csoportok a listán? Segítség

Az előző feladatban részcsoportok közti izomorfimusokat kerestünk. Azt találtuk, hogy ha két részcsoport ugyanolyan geometriai feltételekkel definiálunk, akkor a két részcsoport izomorf lesz. Például, ha P és Q két pont, akkor a P körüli forgatások csoportja izomorf a P körüli forgatások csoportjával. Egy "geometriai" izomorfizmust meg is tudunk adni: egyszerűen a P körüli forgatásokat "eltoljuk" a PQ‾ vektorral, így Q körüli forgatásokhoz jutunk. Képlettel is megadhatjuk: ha P és Q két pont, akkor minden P körüli ϕ elforgatáshoz hozzárendeljük a Q körüli ugyanakkora szögű elforatást. Ezt képlettel is írhatjuk: ha v jelöli a PQ‾ vektorra való eltolást, akkor az izomorfizmusunk: ϕ→vϕv −1 Hasonló módon kereshetünk "geometriai" izomorfizmust két egybevágó sökszög szimmetria csoportjai között: ha ψ egy olyan egybevágóság, amelyik az egyik sokszöget a másikba transzformálja, akkor a ϕ→ψϕψ −1 megfeletetés egy izomorfizmus a kér szimmetria csoport között.

/XVI. Feladat: A fenti érvelés nem teljesen jó, ha két olyan szabályos sokszög szimmetria csoportját akarjuk összehasonlítani, amelyeknek ugyanannyi csúcsa van, de nem egybevágóak. Meg tudod-e javítani az érvelést? Segítség
/4. Definíció: Legyen G egy csoport, g∈G egy tetszőleges elem. Egy h∈G elem g-vel való konjugáltja ghg −1 , jelölése: g h. A G∋h→h g=ghg −1 ∈G leképezés egy automorfizmus (4/3. definíció), g-vel való konjugálásnak nevezzük. Ha H≤G egy részcsoport, akkor a g-vel való konjugáltja: {h g∣h∈H}≤G szintén részcsoport, a H konjugált részcsoportja, jelölése: H g
/XVII. Feladat: Lásd be, hogy a konjugálás valóban automorfizmus!
/XVIII. Feladat: Lásd be, hogy egy részcsoport konjugáltjai szintén részcsoportok!
/XIX. Feladat: Lásd be, hogy egy Abel csoportban minden konjugálás az identitás.
/XX. Feladat: Lásd be, hogy egy g elemkel való konjugálás pontosan akkor az identitás, ha g a csoport minden elemével felcserélhető!
/XXI. Feladat: Lásd be, hogy egy g elemkel való konjugálás pontosan akkor egyezik meg egy másik, h elemmel való konjugálással, ha gh −1 a csoport minden elemével felcserélhető!
/XXII. Feladat: Legyen G egy csoport, H≤G részcsoport, és g∈G tetszőleges elem. Lásd be, hogy a H elemeinek g-vel való konjugálása egy H→H g izomorfizmus.
/XXIII. Feladat: Legyenek P és Q síkbeli pontok, és H a P körüli forgatások csoportja - részcsoport az egybevágóságok csoportjában. Bizonyítsd be, hogy ha ϕ egy olyan egybevágóság, amelyre ϕ(P)=Q, akkor a H ϕ konjugált részcsoport éppen a Q körüli forgatások részcsoportja!
/XXIV. Feladat: Az előző feladatban a ϕ transzformációt többféleképpen is megválaszthatjuk. Mi az összes lehetőség? Igaz-e, hogy bármelyik ϕ-vel való konjugálás ugyanazt a H→H ϕ izomorfizmut adja. Igaz-e, hogy az összes egybevágóságok csoportján csupa különböző automorfizmust adnak? Segítség
/XXV. Feladat: Adott a síkon két egybevágó síkbeli sokszög, A és B. Lásd be, hogy ha ϕ olyan egybevágóság, amelyikre ϕ(A)=B, akkor a sík összes egybevágóságának csoportjában a ϕ-vel való konjugálás az A szimmetriáinak részcsoportját a B szimmetriáinak részcsoportjába képezi! Igaz-e, hogy mindegyik ϕ ugyanazt az izomorfizmust adja?
/XXVI. Feladat: Adott a síkon egy A irány és egy ϕ egybevágóság, Lásd be, hogy az A irányú eltolások részcsoportjának ϕ-vel való konjugáltja éppen a ϕ(A) irányú eltolások részcsoportja!
/5. Definíció: Legyen G egy csoport, és H≤G egy részcsoport. Azt mondjuk,hogy H normálosztója G-nek, ha csak saját magával konjugált, vagy más szóval, ha zárt a konjugálásra nézve. Jelölés: H◃G.
/XXVII. Feladat: A /(B) listán mely részcsoportok lesznek normálosztók?
/6. Definíció: Egy ϕ:G→H egy homomorfizmus magja a H egységelemének ősképe, ϕ −1 (1 ). Más szóval: azon elemek halmaza, amelyek képe 1 . Jelölése: ker(ϕ).
/7. Tétel: Minden homomorfizmus magja normálosztó.
/XXVIII. Feladat: Lásd be az előző tételt.
/XXIX. Feladat: Keress olyan homomorfizmust a síkbeli mozgatások csoportjából SO(2 )-be, amelyneka magja éppen az eltolásokból áll!
/XXX. Feladat: Keress olyan homomorfizmust a síkbeli egybevágóságok csoportjából O(2 )-be, amelyneka magja éppen az eltolásokból áll!
/XXXI. Feladat: Láttuk, hogy az eltolások csoportja normálosztó a síkbeli mozgatások csoportjában. Lásd be, hogy minimális normálosztó: nincs nála kisebb (tehát benne lévő) valódi normálosztó.