6. Térbeli forgatások: SO(3), O(3)

Megoldások

/I. Feladat: Adott egy gömb felület a térben. Lásd be, hogy egy egybevágósági transzformáció pontoasn akkor képezi a gömböt önmagába, ha a gömb középpontját helyben hagyja!
Megoldás: Jelölje O a középpontot, r a gömb sugarát, legyen ϕ egy tetszőleges egybevágósági transzformáció. Ha ϕ(O)=O, akkor ϕ a gömb pontjait O-tól r távolságra lévő pontokba -- tehát a gömb felszínére -- viszi.
/III. Feladat: Legyenek P,Q∈G nem átellenes pontok. Lásd be, hogy ha egy SO(3 )-beli mozgatás helyben hagyja a P és Q pontokat, akkor minden pontot helyben hagy!
Megoldás: Legyen ϕ egy ilyen mozgatás. Tehát ϕ a P, Q pontokat összekötő főkört önmagára képezi. Mivel a két PQ ív nem egyforma hosszú, azért a főkör minden pontját egyértelműen meghatározza a P-től és Q-tól mért távolsága -- tehát a főkör mingen pontja helyben marad. A főkör két félgömbre vágja a gömböt, és mivel a mozgatás irányítás tartó, azért mindkét félgömböt önmagába viszi. Mivel egy félgömb minden pontját egyértelműen meghatározza a P-től és Q-tól való távolsága, azért minden pont helyben marad.
/IV. Feladat: Adottak a P,Q∈G nem átellenes pontok. Lásd be, hogy bármelyik olyan R,S∈G pontpárra, melyek távolsága RS‾=PQ‾, pontosan egy olyan mozgatás van SO(3 )-ban, amelyik P-t R-be, Q-t pedig $S-be viszi.
Megoldás: Először belátjuk, hogy van ilyen mozgaás: egy forgatással a Ppontot az R-be visszük, legyen Q' a Q képe. Ezután egy R körüli forgatással Q'-t S-be forgatjuk.
Most lássuk az egyértelműséget: legyen ϕ és ψ két ilyen tulajdonságú mozgatá. Tehát ϕ −1 ψ egy olyan mozgatás, amelyik a P és Q pontokat helyben hagyja. Az előző feladat miatt ez csak az identitás lehet, tehát ϕ=ψ.
/VII. Feladat: Lásd be, hogy origó körüli (térbeli) forgatások kompozíciója is origó körüli forgatás!
Segítség: Mindkét forgatást felbontjuk síkra való tükrözések kompozíciójára -- azt kell belátnunk, hogy a négy tükrözés szorzata egy tengely körüli forgatás. A tükör--síkok választásában van némi szabadságunk, elérhetjük, hogy a második, és a harmadik tükrözés ugyanaz legyen, kiejtse egymást. Rajzold le! A maradék két tükrözés kompozíciója valóban forgatás.
/VIII. Feladat: Lásd be, hogy SO(3 ) minden eleme egy origó körüli forgatás!
Megoldás: A /IV. feladat megoldásában láttuk, hogy SO(3 ) minden eleme két origó körüli forgatás kompozíciója. A /VII. feladat szerint ezek a kompozíciók maguk is forgatások.
/IX. Feladat: Igaz-e, hogy az O(3 ) csoport minden eleme vagy egy origó körüli elforgatás, vagy egy origón áthaladó síkra való tükrözés!
Megoldás: Nem, például az origóra való tükrözés nem ilyen. Ha egy síkra tükrözünk, és utána a síkra merőleges egyenes körül forgatunk, az sem ilyen. Van-e még több?