6. Térbeli forgatások: SO(3), O(3)

A három dimenziós tér egybevágóságai közül most csak a forgatásokkal, síkra való tükrözésekkel foglalkozunk.

/I. Feladat: Adott egy gömb felület a térben. Lásd be, hogy egy egybevágósági transzformáció pontoasn akkor képezi a gömböt önmagába, ha a gömb középpontját helyben hagyja! Megoldások
/1. Konvenció: Rögzítjük az O pontot a térben: az origót. G jelöli az O középpontú egység sugarú gömbfelületet. Ebben a szakaszban csak olyan egybevágósági transzformációkkal foglalkozunk, amelyek helyben hagyják az origót. Ezzel ekvivalens feltétel: a G gömböt önmagába képezik.
/2. Definíció: A G gömböt önmagába képező egybevágósági transzformációk csoportját O(3 )-nak hívjuk. A G gömböt helyben hagyó mozgatások egy részcsoportot alkotnak, neve: térbeli forgás csoport -- jele: SO(3 ).
/II. Feladat: Lásd be, hogy O(3 ) valóban csoport, SO(3 ) valóban részcsoport!
/III. Feladat: Legyenek P,Q∈G nem átellenes pontok. Lásd be, hogy ha egy SO(3 )-beli mozgatás helyben hagyja a P és Q pontokat, akkor minden pontot helyben hagy! Megoldások
/IV. Feladat: Adottak a P,Q∈G nem átellenes pontok. Lásd be, hogy bármelyik olyan R,S∈G pontpárra, melyek távolsága RS‾=PQ‾, pontosan egy olyan mozgatás van SO(3 )-ban, amelyik P-t R-be, Q-t pedig $S-be viszi. Megoldások
/3. Definíció: Az olyan térbeli forgatásokat, amelyek forgástengelye átmegy az origón, origó körüli (térbeli) forgatásoknak hívjuk. hamarosan látnifogjuk (/VIII. feladat), hogy az origó körüli forgatások halmaza éppen a forgáscsoport: SO(3 ).
/V. Feladat: Adott két síkra való tükrözés, amelyek tükörsíkja áthalad az origón. Lásd be, hogy a kompozíciójuk egy elforgatás, a forgástengely szintén áthalad az origón!
/VI. Feladat: Lásd be, hogy minden forgatás felbontható két síkra való tükrözés kompozíciójára! Hányféleképpen tudod felbontani?
/VII. Feladat: Lásd be, hogy origó körüli (térbeli) forgatások kompozíciója is origó körüli forgatás! Segítség
/VIII. Feladat: Lásd be, hogy SO(3 ) minden eleme egy origó körüli forgatás! Megoldások
/4. Érdekesség: A feladatokban beláttuk, hogy SO(3 ) minden eleme tengely körüli forgatás. A mi bizonyításunk geometriai volt, de persze sokféle más módon is be lehet látni. Egy algebrai érvelés: az SO(3 ) elemei egyenes tartó transzformációk, tehát bizonyos 3 ×3 -as mátrixokkal való szorzások. Először a forgástengelyt keressük, ezértis belátjuk, hogy minden 3 ×3 -as M mátrixnak van saját--vektora: van olyan v vektor, amire Mv=λv (itt λ valós szám. (Bővebb információ: itt Ezt a λ számot a mátrix saját--értékének hívják. Adott λ esetén v könnyen kiszámolható (az Mv=λv lineáris egyenlet--rendszerrel, de a legtöbb λ esetén nincs nem nulla megoldás. Pontosan akkor találunk nem nulla megoldást, ha az egyenlet-rendszer determinánsa nulla, azaz det(M−(λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ))=0 Adott M esetén ez λ-ra egy harmadfokú egyenlet, a bal oldalon álló poilinomot hívjuk az M mátrix karakterisztikus polinomjának. Harmadfokú valós együtthatós poninomnak mindig van valós gyöke, azért van valós sajátérték, és hozzá sajátvektor. De a mi transzformációnk távolság tartó is, tehát csak a λ=±1 jöhet szóba. λ=1 esetén v a forgástengely iránya, λ=−1 esetén a v-re merőleges síkban irányítás fordító transzformációt -- azaz tengelyes tükrözést -- kapunk, enneka tengelye lesz a forgástengely.
/5. Érdekesség: Más módon is kereshetjük a forgástengelyt. Egy G→G folytonos, irányítástartó bijekciónak mindig van fixpontja. A mi esetünkben az origót a fixponttal összekötő egyenes lesz a forgástengely. Az állításunk egy sokkal általánosabb tétel, a Lefschetz-féle fixpont tétel speciális esete -- homológia csoportok segítségével bizonyítják, nekünk most még túl nagy kitérő volna.
/IX. Feladat: Igaz-e, hogy az O(3 ) csoport minden eleme vagy egy origó körüli elforgatás, vagy egy origón áthaladó síkra való tükrözés! Megoldások
/X. Feladat: Lásd be, hogy az SO(3 ) csoport egyszerű!