7. Diszkrét részcsoportok

Sok olyan csoporttal találkoztunk, amelyik leírható mátrixokkal. Egy ilyen csoport a mátrixok terének egy részhalmaza, a mátrixok tere pedig egyszerűen ℝ N (ahol N a mátrix elemeinek száma). Az ilyen csoportokban beszélhetünk folytonos függvényekről, nyílt vagy zárt részhalmazokról, stb. -- hiszen ℝ N részhalmazaiban ismerjük ezeket a fogalmakat. Természetesen ha ugyanazt a csoportot másként azonosítjuk egy másik ℝ M részhalmazával, akkor esetleg más függvények lesznek folytonosak, más halmazok lesznek nyíltak, stb. Ezért (ebben a fejezetben) minden csoporthoz rögzítünk egy ilyen azonosítást, és azt többet nem változtatjuk.

Korábban már volt ilyen azonosításunk a következő csoportokra, és részcsoportjaikra: ℝ n, O(2 ), O(3 ), O(1 ,1 ). Később (a projektív síkról szóló fejezetben) a sík összes egybevágóságának csoportját is azonosítjuk egy mátrix csoporttal.

/1. Konvenció: Ebben a fejezetben minden csoport részhalmaza lesz egy Euklideszi térnek. Ezért beszélhetünk folytonos függvényekről, csoportok nyílt illetve zárt részhalmazairól, stb.
/2. Definíció: Az Euklideszi tér (azaz ℝ N) egy részhalmazát diszkrét részhalmaznak nevezzük, ha nincs torlódási pontja, azaz minden konvergens részsorozata valamelyik tagtól kezdve konstans. Egy G csoport (ami a konvenciónk miatt része egy Euklideszi térnek) diszkrét csoport, ha diszkrét részhalmaz az Euklideszi térnben.
/3. Definíció: Egy G csoport H részcsoportját sűrűnek mondjuk, ha G minden elemét megkaphatjuk H-beli elemek sorozatának határértékeként.
/I. Feladat: Lásd be, hogy egy véges csoport mindig diszkrét!
/II. Feladat: Lásd be, hogy egy diszkrét csoport részcsoportjai is diszkrétek!
/III. Feladat: Adottak az A≤B≤G részcsoportok a G csoportban. Lásd be, hogy ha A sűrű B-ben és B sűrű G-ben, akkor A sűrű G-ben.
/IV. Feladat: Lásd be, hogy ℝ minden ciklikus részcsoportja diszkrét! Megoldások
/V. Feladat: Keresd meg ℝ diszkrét részcsoportjait! Megoldások
/VI. Feladat: Lásd be, hogy ℝ minden részcsoportja vagy diszkrét, vagy sűrű! Megoldások
/4. Érdekesség: Az előző feladatból kiderül, hogy ha r irracionális szám, akkor az 1 és r által generált részcsoport sűrű. Ez valójában számelmélet: azon múlik hogy az r irracionális számot nagy pontossággal tudjuk racionális számokkal közelíteni. Akárhogy választunk egy q nevezőt, mindig van hozzá olyan p számláló, amire ∣r−pq∣≤1 2 q, de nekünk ennél pontosabb közelítés kell. Az r szám lánctört közelítése olyan törteket ad, amelyekre ∣r−pq∣≤1 q 2 és ebből következik a feladat állítása. Érdemes megemlíteni Roth tételét, ami arról szól, hogy algebrai számokat ennél pontosabban nem lehet közelíteni. Tehát, ha racionális számok egy sorozata túl gyorsan konvergál, akkor a határérték szükségszerűen transzcendens. Roth tétele nehéz, de sok transzcendens számot találhatunk Liouville tételével is.
/VII. Feladat: Lásd be, hogy S 1 minden ciklikus részcsoportjai vagy diszkrét, vagy sűrű! Mitől függ, hogy melyik? Megoldások
/5. Érdekesség: S 1 körvonal alakú, tehát korlátos és zárt halmaz -- az ilyet kompaktnak nevezzük. Könnyen látható,hogy egy korlátos zárt halmaz diszkrét részhalmaza mindig véges. Ebből azonnal következik a /VII. feladat.
/VIII. Feladat: Keresd meg S 1 diszkrét részcsoportjait! Megoldások
/IX. Feladat: Lásd be, hogy S 1 minden részcsoportja vagy diszkrét, vagy sűrű! Megoldások
/X. Feladat: Igaz-e, hogy ℝ 2 minden részcsoportja vagy diszkrét, vagy sűrű? Megoldások
/XI. Feladat: Legyen x,y∈ℝ 2 két nem nulla elem. Milyen részcsoportot generálnak? hányféle lehetőség van? Megoldások
/XII. Feladat: Határozd meg ℝ 2 diszkrét részcsoportjait! Megoldások