9. Projektív sík transzformációi: PGL(3,R)

Projektív sík

Mindenki tudja, hogy "a párhuzamosok a végtelenben találkoznak". Rajzokon, festményeken látjuk is: a horizonton futnak össze a párhuzamosok, egy-egy értelmű megveleltetés van a horizont pontjai és a vízszintes irányok közöt. Ezt az elképzelést foglalja egységes keretbe a projektív geometria - a neve is a projekció (vetítés) szóból ered.

/1. Definíció: A projektív síkot úgy definiáljuk, hogy a közönséges Euklideszi síkot kiegészítjük: minden egyenes végére odabiggyesztünk egy "végtelen távoli" pontot, vagy más szóval ideális pontot, a párhuzamos egyenesek ugyanazt a pontot kapják. Hogy teljes legyen a kép, még egy egyenesre is szükségünk van: az összes ideális pont halmazát ideális egyenesnek hívjuk. Vigyázat: minden egyenes csak egy új pontot kapott, "kör-szerű" lett: ha az egyenesen az egyik irányban elmegyünk a végtelenbe, akkor a végtelen távoli ponton keresztül a másik oldalról érkezünk vissza. Hamarosan adunk egy másik, szimmetrikusabb definíciót is.

Ez a definíció egy olyan geometriát ad, amelyikben beszélhetünk pontokról és egyenesekről. Érdekes kérdés, hogy ezek segítségével milyen további alakzatokat lehet definiálni?

Válasszunk a háromdimenziós térben egy 0 pontot, az origót, és egy őt nem tartalmazó S síkot. Van egy kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés az S sík pontjai, és az origón átmenő, S-et metsző egyenesek halmaza közt: minden egyeneshez a döféspontját rendeljük. Továbblépve, egy-egy értelmű megfeleltetés van S egyenesei, és az origón átmenő, S-et metsző síkok között: minden síkhoz az általa kimetszett egyenest rendeljük. Az egész játékot azért játsszuk, hogy észrevegyük: az S-set elkerülő térbeli egyenesekhez hozzárendelhetjük a velük párhuzamos S-beli egyenesek (közös) ideális pontját, és az S-sel párhuzamos síkhoz hozzárendelhetjük az ideális egyenest. Tehát kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést kaptunk a projektív sík pontjai és az origón átmenő térbeli egyenesek, illetve a projektív sík egyenesei, és az origón átmenő térbeli síkok között. Ezt az észrevétel vezet el a következő két alternatív definícióhoz:

/2. Definíció: Válasszunk a háromdimenziós térben egy 0 pontot, az origót. Az origón átmenő összes egyenes halmazát projektív síknak nevezzük, magukat az egyeneseket pedig a projektív sík pontjainak. A projektív sík szokásos jelölése: ℝℙ 2 . Ha L egy origón átmenő (térbeli) sík, akkor jelölje L‾⊂ℝℙ 2 az L-ben lévő, 0 -t tartalmazó egyenesek halmazát. Az így kapott részhalmazokat hívjuk projektív egyeneseknek.
/3. Definíció: Válasszunk a háromdimenziós térben egy 0 pontot, az origót, és egy őt nem tartalmazó S síkot. Legyen S 0 az S-sel párhuzamos, origón áthaladó sík. A S‾ 0 ∈ℝℙ projektív egyenest hívjuk az S sík ideális egyenesének, és a rajta levő pontokat az S sík ideális pontjainak. Azonosítjuk az S síkot a projektív sík nem ideális pontjainak halmazával: az e∈ℝℙ 2 pontnak (t.i. térbeli egyenesnek) az e∩S∈S pont felel meg. Az azonosítás során az S-beli egyenesek képei éppen a nem ideális projektív egyenesek lesznek, az ideális pontjuk nélkül.
/I. Feladat: Mit jelent, hogy a projektív sík két definíciója ekvivalens? Segítség
/II. Feladat: Lásd be, hogy a projektív síkon bármely két ponton keresztül pontosan egy egyenes húzható, és bármely két egyenesnek egy közös pontja van. Megoldások

Fontos észrevétel, hogy a projektív sík nagyon szimmetrikus, minden pontja és minden egyenese egyforma. Ez a /2. definícióból látszik: térbeli forgatással bármely két origón áthaladó egyenes illetve sík egymásba vihető. Azt is láttuk, hogy egy tetszőleges projektív egyenest kijelölhetünk ideális egyenesnek. Ezt a választási szabadságot gyakran ki lehet, és ki is fogjuk használni: a számunkra legkedvezőbb helyre tesszük a "végtelent".

Homogén koordináták

A sík pontjait sokfélemódon szokás koordinátázni. Leggyakrabban a Descartes koordinátákat, illetve a polár koordinátákat használják. Most egy harmadik fajta koordináta-rendszert vezetünk be: a homogén koordinátákat. Ezek előnye, hogy az ideális pontokat is tudjuk koordinátázni. Hátránya, hogy egyazon pontot sokféleképpen is koordinátázunk: (x,y,z) és (λx,λy,λz) ugyanazt a pontot jelöli minden 0 -tól különböző λ értékre. Erről a tulajdonságról kapta a nevét: homogén koordináta rendszer.

/4. Definíció: Válasszunk a háromdimenziós térben egy ferdeszögű koordináta rendszert. Ez megad egy homogén koordinátarendszert a projektív síkon: Egy origón átmenő egyenes homogén koordinátái legyenek valamelyik origótól különböző pontjának koordinátái. Ez nem egyértelmű: (x,y,z) és (λx,λy,λz) ugyanazt a pontot jelöli minden 0 -tól különböző λ értékre. Egy projektív egyenes egyenlenlete megegyezik a hozzá tartozó térbeli sík egyenletével, tehát homogén lineáris. Minden (nem triviális) homogén lineáris egyenlet egy origón áthaladó térbeli síkot, tehát egy projektív egyenest ad meg.

Megpróbálhatunk háromváltozós függvényt a projektív sík pontjaiban kiértékelni, de nem fog sikerülni: a pont koordinátái nem egyértelműek, és a függvény értéke tipikusan megváltozik, ha más-más koordinátákat választunk a pontnak. Ezt a problémát részben megoldja a következő definíció:

/5. Definíció: Egy f háromváltozós függvényt d-fokú homogén függvénynek nevezünk, ha teljesíti az f(λx,λy,λz)=λ df(x,y,z),0 ≠λ∈ℝ azonosságot. Az f függvény zérushelye a projektív síkon: azon pontok halmaza, amelyek homogén koordinátái kielégítik az f(x,y,z)=0 egyenletet. Jelölése: {f(x,y,z)=0 }. Ez a halmaz nem függ a pontok koordinátáinak választásától (de természetesen függ a homogén koordináta rendszer megválasztásától).
/III. Feladat: Pontosan mit jelent a fenti definícióban, hogy "a halmaz nem függ a pontok koordinátáinak választásától"? Megoldások

Projektív transzformációk

/6. Konvenció: A /3. definícióban használt jelöléseinket megtartjuk: Választunk egy origót elkerülő S síkot, S 0 jelöli az origón áthaladó S-sel párhuzamos síkot. Először azonosítjuk a közönséges síkot S-sel, majd (mint a /3. definícióban) a projektív sík egy részhalmazával. Olyan ferdeszögű koordináta rendszert választunk, ahol S egyenlete {z=1 }. Az x,y koordinátákat használjuk az S síkon is, így az (a,b)∈S pont homogén koordinátái (a,b,1 ) lesznek, illetve ennek többszörösei. Az ideális egyenes pedig éppen az S‾ 0 ={z=0 } (projektív) egyenes lesz.

A fenti konvenció nem egyértelmű, még rengeteg szabadságot enged a homogén koordináta rendszer megválasztásában. Ezt sokszor ki is fogjuk használni.

/7. Definíció: Válasszunk a projektív síkon egy homogén koordináta rendszert (t.i. egy ferdeszögű koordináta rendszert a háromdimenziós térben). Egy 3 ×3 -as mátrixszal való szorzás megadja a 3 dimenziós tér egy transzformációját, és könnyű ellenőrizni, hogy ez a projektív síknak is transzformációja. A projektív sík ilyen transzformációit hívjuk projektív transzformációnak. A projektív transzformációk halmaza (a kompozícióval) a projektív lineáris csoport, jelölése: PGL(3 ,ℝ).
/IV. Feladat: Hogyan lesz egy 3 ×3 -as mátrixszal való szorzás a projektív sík transzformációja? Megoldások
/V. Feladat: Lásd be, hogy a projektív transzformációk halmaza nem függ a homogén koordináta rendszer választásától. Megoldások
/VI. Feladat: Csoport-e a projektív lineáris csoport? Megoldások
/VII. Feladat: A definícióban minden 3 ×3 -as invertálható mátrixhoz hozzárendeltünk egy projektív transzformációt. Lássuk be, hogy ez egy GL(3 ,ℝ)→PGL(3 ,ℝ) homomorfizmus. Mi a magja? Megoldások
/8. Érdekesség: Legyenek P, Q projektív síkok. Az f:P→Q folytonos, egyenes tartó leképezéseket (tehát amelyek egyenest egyenesbe visznek) kollineációnak nevezzük. Ha mindkét síkon választunk homogén koordinátákat, akkor kiderül, hogy a kollineációk éppen azok a leképezések, amelyek a homogén koordináta vektort egy 3 ×3 -as mátrixszal szorozzák. Tehát a projektív transzformációk éppen a projektív sík önmagára való kollineációi.
/9. Érdekesség: A projektív sik mintájára készül a projektív tér (sőt, a magasabb dimenziós projektív terek is). Projektív terek közt is beszélhetünk kollineációról. Érdekesség, hogy itt már a folytonosságot nem kell kikötni: minden egyenes tartó leképezés automatikusan folytonos, tehát egy kollineáció.
/10. Érdekesség: Ha A és B síkok, és egy rajtuk kívüli P pont a térben, akkor az A pontjait a P ponton keresztül a B síkra vetítjük. Ezt a transzformációt középpontos vetítésnek, vagy projekciónak nevezzük - éppen ezt a transzformációt végzi a diavetítő. Természetesen a vetítést kiterjeszthetjük a projektív térben két projektív sík közti leképezéssé - tehát a projekciók kollineációk.
/VIII. Feladat: A fenti A→B projekció A melyik egyenesét viszi a végtelenbe (B ideális egyenesébe)? Hová vetíti az A ideális egyenesét.
/IX. Feladat: Lásd be, hogy minden kollineáció előállítható két projekció kompozíciójaként!
/11. Érdekesség: A három dimenziós tér minden origón áthaladó síkjához rendeljük hozzá a rá merőleges, origón keresztül futó, és viszont, minden origót tartalmazó egyeneshez rendeljük a rá merőleges órigót tartalmazó síkot. Ez egy kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést ad a projektív sík pontjai és egyenesei közt, ezt hívjuk dualitásnak. A dualitás segítségével minden pontokról és egyenesekről szóló tételből készíthetünk egy duális tételt: az egyeneseket mindenütt pontra cseréljük, és viszont. Például: bármely két ponton keresztül pontosan egy egyenes húzható. Ennek a duálisa: Bármely két egyenesnek egy közös pontja van. Mivel nem csak a tétel, de az egész bizonyítása is dualizálható, azért a kettő közül elég az egyiket bebizonyítani.

Tekintsük a következő síkbeli transzformációkat:

/(A)
Síkbeli transzformációk
    Ez egy Gif formájú film -- kár, hogy nem tudod megnézni Ez egy Gif formájú film -- kár, hogy nem tudod megnézni
  1. Elforgatások
  2. Eltolások
  3. Tengelyes tükrözések
  4. Középpontos nagyítások
  5. Mozgatások
  6. Egy egyenesre merőleges irányban való nyújtások
  7. Ferdeszögű koordinátarendszerben az egyik koordináta nyújtásai
  8. x tengelyű nyírások:
    (x,y)→(x,y+λx)
  9. Lineáris transzformációk: 2 ×2 -es invertálható mátrixszal való szorzások
  10. Affin transzformációk: amelyek felírhatók egy lineáris transzformáció és egy eltolás kompozíciójaként
  11. Inverziók
/X. Feladat: Az /(A) lista transzformációi közül melyek terjeszthetők ki folytonosan a projektív síkra? Melyik kiterjesztések lesznek projektív transzformációk? Megoldások
/XI. Feladat: Az /(A) listán mely sorok adnak meg részcsoportot PGL(3 ,ℝ)-ben? Segítség
/XII. Feladat: Az origó körüli térbeli forgatások projektív transzformációkat adnak. Ezek közül melyek szerepelnek az /(A) listán? Megoldások
/XIII. Feladat: Origón áthaladó síkra való tükrözések szintén projektív transzformációkat adnak. Közülük melyek szerepelnek az /(A) listán? Megoldások
/12. Definíció: A projektív sík négy pontját általános helyzetű pont-négyesnek mondjuk, ha közülük semelyik három nem esik egy egyenesre.
/XIV. Feladat: Adott a projektív síkon négy általános helyzetű pont. Lásd be, hogy pontosan egy olyan homogén kordináta rendszer van, amelyben a pontok koordinátái rendre (1 ,0 ,0 ), (0 ,1 ,0 ), (0 ,0 ,1 ) és (1 ,1 ,1 ). Megoldások
/XV. Feladat: Lásd be, hogy ha egy projektív transzformáció négy általános helyzetű pontot nem mozdít, akkor ő az identitás! Megoldások
/XVI. Feladat: Lásd be, hogy egy projektív transzformációt egyértelműen meghatároz négy általános helyzetű pont képe! Igaz-e, hogy a négy pont képét tetszőlegesen előírhatjuk? Megoldások
/XVII. Feladat: Lásd be, hogy ha egy projektív transzformáció egy egyenes három pontját nem mozdítja, akkor az egyenes minden pontját helyben hagyja! Megoldások
/XVIII. Feladat: Lásd be,hogy egy kollineáció mindig a homogén koordináta vektorok 3 ×3 -as mátrixszal való szorzása! Megoldások

/(B)
PGL(3,R) részcsoportjai
  1. Egy egyenest helyben hagyó projektív transzformációk
  2. Egy egyenest, és egy rajta lévő pontot helyben hagyó transzformációk
  3. Egy egyenest, és két rajta lévő pontot helyben hagyó transzformációk
  4. Egy egyenest, és három rajta lévő pontot helyben hagyó transzformációk
  5. Egy egyenes minden pontját helyben hagyó transzformációk
  6. Két egyenest helyben hagyó transzformációk
  7. Három egy ponton átmenő egyenest helyben hagyó transzformációk
  8. Három nem egy ponton átmenő egyenest helyben hagyó transzformációk
  9. Egy egyenest, és egy rajta kívül eső pontot helyben hagyó transzformációk
  10. Két pontot helyben hagyó transzformációk
  11. Három egy egyenesre eső pontot helyben hagyó transzformációk
  12. Három nem egy egyenesre eső pontot helyben hagyó transzformációk
  13. Négy általános helyzetű pontot helyben hagyó transzformációk
/XIX. Feladat: Lásd be, hogy a /(B) listán csupa részcsoport szerepel. Segítség
/XX. Feladat: Írd le a /(B) listán szereplő részcsoportokat mátrix alakban. Melyik hány dimenziós? Keress bennük minél több (geometriai) transzformációt. Melyiknek találtad meg az összes elemét? Melyik részcsoport ismerős korábbról? Megoldások
/XXI. Feladat: A /(B) listán mely sorok írják le ugyanazokat a részcsoportokat? Segítség
/XXII. Feladat: A /(B) listán mely részcsoportok konjugáltak? Segítség
/XXIII. Feladat: A /(B) listán mely részcsoportok izomorfakegymással? Vannak-e nem konjugált, de mégis izomorf részcsoportok a listán? Megoldások
/XXIV. Feladat: Vannak-e a /(B) listán normálosztók? Megoldások