Fokszam

Ha M egy kompakt (peremes) sokaság, akkor az M∕∂M faktor-térnek van egy kitüntetett pontja (∂Y képe), melynek komplementuma egy differenciálható sokaság. Ebben a fejezetben fontos, hogy ilyen „sokaság-szerű” objektumokkal dolgozzunk, ezért van szükségünk a következőkre:

13.1. Definíció (Csúcsos sokaság). Egy kompakt csúcsos sokaság egy X kompakt Hausdorff topológikus tér a következő struktúrával ellátva:

∙: Egy ⊂ X véges részhalmaz, ezek a pontok az X csúcsai (az üreshalmaz is megengedett),
∙: X^∘ = X \ egy differenciálható sokaság (lehet pereme is), ezt az X sima részének modjuk.
∙: Megköveteljük, hogy X^∘ lezártja az egész X legyen, és
∙: X-nek legyen véges sok szimplexből álló szimplex-felbontása.

Az X^∘ sima rész peremének lezártját az X peremének hívjuk, ∂X-szel jelöljük. Ha a perem üres, akkor X egy zárt csúcsos sokaság. Világos, hogy minden csúcsos sokaság pereme zárt csúcsos sokaság (esetleg csúcs nélkül). Ha hangsúlyozni akarjuk, hogy X-nek lehet pereme, akkor peremes csúcsos sokaságnak mondjuk.

Az X csúcsos sokaság szimplex felbontása egy olyan szimplex felbontás, amelyben a -beli pontok szerepelnek a felbontás csúcsai között, és amelyben ∂X egy rész-komplexus.

X egy irányítása nem más, mint az X^∘ sima rész irányítása. Ha rögzítünk egy irányítást X-en, akkor irányított csúcsos sokasággá válik.

13.5. Definíció (Csúcs-tartó leképezések). Legyenek X, Y csúcsos sokaságok, f : X → Y egy folytonos függvény, h : X × [0, 1] → Y egy folytonos homotópia. Jelölje ⊂ X az X csúcsainak halmazát.

∙: f csúcs-tartó, ha X csúcsait csúcsokba viszi.
∙: f folytonosan differenciálható, ha csúcs-tartó, és folytonosan differenciálható az Y ^∘ sima rész teljes ősképén (ami egy nyílt halmaz X-ben).
∙: Jelöljük Z-vel az X × [0, 1]× [0, 1] faktor-teret. Ez is egy csúcsos sokaság.
∙: h csúcs-tartó, ha a × [0, 1] halmaz minden pontját csúcsba küldi, azaz indukál egy h : Z → Y csúcs-tartó folytonos függvényt.
∙: h folytonosan differenciálható, ha csúcstartó, és az indukált h : Z → Y leképezés folytonosan differenciálható.
∙: Két X → Y csúcstartó leképezés csúcstartóan homotóp, illetve folytonosan diferenciálhatóan homotóp, ha van köztük csúcstartó, illetve folytonosan differenciálható homotópia.

13.6. Tétel (Differenciálható approximáció). Legyenek X, Y kompakt csúcsos sokaságok (perem is megengedett). Jelölje ⁰(X,Y ) az X → Y folytonos csúcstartó leképezések terét a kompakt-nyílt topológiában.

(a): ⁰(X,Y ) lokálisan összefüggő (azaz minden pontjának van összefüggő környezete).
(b): Minden f : X → Y folytonos csúcstartó függvénynek van olyan környezete ⁰(X,Y )-ban, amelyik csupa f-fel csúcstartóan homotóp függvényből áll.
(c): A folytonosan differenciálható X → Y függvények sűrű halmazt alkotnak ⁰(X,Y )-ban.
(d): Minden f : X → Y folytonos csúcstartó függvény csúcstartóan homotóp egy : X → Y folytonosan differenciálható függvénnyel.
(e): Ha az f,g : X → Y folytonosan differenciálható függvények csúcstartóan homotópok, akkor van közöttük folytonosan differenciálható homotópia is.

Bizonyítási ötletek. (a) következik a Lebesgue-lemmából.
(b) az (a) átfogalmazása.
(c): egy f(x) függvényt ∫ f(x)K(x,y)dy alakú függvényekkel közelíthetünk, ahol K megfelelően választott folytonosan diferenciálható függvény.
(d) azonnal következik (b)-ből és (c)-ből.
Legyen Z = X × [0, 1]∕× [0, 1], ahol az X csúcsainak halmaza. (e) következik abból, ha a (d)-t alkalmazzuk ⁰(Z,Y )-ra. □

13.7. Tétel (Szimplíciális approximáció). Legyenek X, Y kompakt csúcsos sokaságok, és f : X → Y egy csúcstartó folytonos leképezés.

(a): Létezik a két csúcsos sokaságnak olyan szimplex-felbontása (lásd a 13.1. Definíciót), és hozzá olyan g : X → Y szimplíciális leképezés, amely csúcstartó, és csúcstartóan homotóp f-fel.
(b): Legyenek továbbá x₁,…,x_m ∈ X olyan pontok, melyek környezetében f folytonosan differenciálható, és a Jakobi determinánsa nem nulla. Ilyenkor megkövetelhetjük, hogy az x₁,…,x_n pontok egy-egy n-szimplex belsejében legyenek, ezeken a kitüntetett szimplexeken az f és g megegyezzen, sőt, ezeken a szimplexeken az egész f ∼ g homotópia is triviális legyen.

Emékeztető: egy h : X × [0, 1] → Y homotópia egy U ⊆ X részhalmazon akkor triviális, ha az (u,t) ∈ U × [0, 1] pontokban h(u,t) csak u-tól függ, t-től független.

Mivel y reguláris érték, azért véges sok ősképe van (tehát véges sok ą1-et kell összeadnunk), és a Jacobi determináns egyikben sem nulla. Ha x ∈ f⁻¹(y), akkor az f függvény diffeomorfizmus az x pont egy kis környezete és az y pont egy környezete között. Ha ez a diffeomorfizmus irányítás-tartó, akkor a Jakobi determináns előjele pozitív x-ben, ha pedig irányítás-fordító, akkor az előjel negatív.

Bizonyítás. Először az (a) állítással foglalkozunk. Tegyük fel, hogy Y összefüggő! Legyenek y,z ∈ Y reguláris értékek, jelölje deg _y(f) és deg _z(f) a kétféle (y-hoz, illetve z-hez tartozó) fokszámot! Alkalmazzuk a 13.7. Tételt az f függvényre és az {x₁,…,x_m} = f⁻¹(y) ∪ f⁻¹(z) véges ponthalmazra. Ez ad nekük szimplex-felbontásokat X-en és Y -on, és egy g : X → Y szimplíciális approximációt.

Tekintsünk egy σ ⊆ Y n-szimplexet! A g⁻¹(σ) őskép véges sok (X-beli) n-szimplexből áll, és ezen szimplexek belsejét g diffeomorfan képezi le σ belsejére. A 13.8. Definíció analógiájára számoljuk meg előjelesen a g⁻¹(σ) őskép n-szimplexeit: azok a szimplexek, melyeken g irányítástartó, +1-et érnek, azok pedig, ahol irányítás-fordító, −1-et. Az így kapott előjeles összeget deg _σ(g)-vel jelöljük.

Világos, hogy ha σ_y az y-t, tartalmazó n-szimplex, akkor deg _{σ_y}(g)-t meghatározó előjeles összeg ugyanaz az összeg, mint amivel deg _y(f)-et számoltuk a 13.8. Definícióban, és ha σ_z a z-t tartalmazó n-szimplex, akkor deg _z(f) = deg _{σ_z}(g). Tehát elegendő bebizonyítanunk, hogy deg _σ(g) nem függ a σ szimplextől.

Legyen ϕ a σ egy olyan (n− 1)-dimenziós lapja, amelyik az Y belsejében van. Jelölje τ ⊆ Y a lap másik oldalán élő n-szimplexet. Világos, hogy g⁻¹(ϕ) diszjunkt (n − 1)-szimplexekből áll, melyek két-két X-beli n-szimplexet határolnak, és ezáltal párokba rendezzük a g⁻¹σ ∪ τ)-beli n-szimplexeket. Legyen ϕ′⊆ g⁻¹(ϕ) az egyik ilyen (n − 1)-szimplex. A két szomszédos n-szimplex négyféleképpen helyezkedhet el:

∙: g az egyiket σ-ra képezi, a másikat τ-ba, mindkettőn irányítás-tartó.
∙: g az egyiket σ-ra képezi, a másikat τ-ba, mindkettőn irányítás-fordító.
∙: g mindkettőt σ-ra képezi, az egyiken irányítás-tartó, a másikon irányítás-fordító (tehát ϕ′ mentén van egy hajtásvonal).
∙: g mindkettőt τ-ra képezi, az egyiken irányítás-tartó, a másikon irányítás-fordító (tehát ϕ′ mentén most is van egy hajtásvonal).

Könnyen ellenőrizhetjük, hogy a szimplex-pár mind a négy esetben a ugyanannyival járul hozzá deg _σ(g)-hen mint deg _τ(g)-hez. Ez mindegyik párra érvényes, tehát deg _σ(g) = deg _τ(g). Mivel Y összefüggő, azért szomszédos szimplexeken keresztül lépkedve σ-ból bármelyik n-szimplexbe. Így deg _σ(g) nem függ σ-tól sem. Az (a) állítást beláttuk.

A (b) állítás bizonyítása sokkal egyszerűbb. Legyen F : Z → Y a folytonosan differenciálható kiterjesztés. Válasszunk egy y ∈ Y pontot, amelyik f-nek és F-nek is reguáris értéke! (Ilyen mindig van a Sard lemma miatt.) Erre az y-ra alkalmazzuk majd a 13.8. Definíciót. Az inverz függvény tételből következik, hogy F⁻¹(y) egy egydimenziós peremes részsokaság X-ben (lásd itt). Mivel X kompakt, azért F⁻¹(y) véges sok szakasz és véges sok körvonal diszjunkt uniója. A szakaszok ∂Z = X-ből indulnak és oda térnek vissza, a körvonalak pedig elkerülik X-et. Ezért a szakaszok párokba rendezik f⁻¹(y) ⊆ X pontjait, a pár egyik tagja mindig pozitívan, a másik pedig negatívan járul hozzá a deg(f)-et definiáló összeghez. Tehát f⁻¹(y) pontjai páronként kiejtik egymást, így deg(f) = 0 ebben az esetben. □

Bizonyítás. A 13.6. Tétel miatt van olyan : X → Y folytonosan differenciálható függvény amelyik csúcstartóan homotóp f-fel. Ha ′ : X → Y egy másik f-fel pontozottan homotóp folytonosan differenciálható pontozott leképezés, akkor és ′ pontozottan homotópok egymással, tehát 13.6. Tétel miatt van közöttük egy h : X × [0, 1] → Y folytonosan differenciálható homotópia. Idézzük fel a 13.5. Definíciót: h indukál egy : Z → Y folytonosan differenciálható függvényt, ahol Z = X ×[0, 1]×[0, 1], és jelöli az X csúcs-pontjainak halmazát. A 13.9. Tétel miatt a h_∂Z megszorítás foka nulla.

Világos, hogy Z pereme az X₀ ∨ X₁ csokor, ahol X₀ = X ×{0}, X₁ = X ×{1}, és a felülvonás jelöli az irányítás megfordítását. h megszorítása X₀-ra, illetve X₁-re éppen , illetve ′. Tehát a fentiek miatt deg(g) − deg(f) = 0. Ezzel az (a) állítást bebizonyítottuk.

A (b) állítás azonnal következik az (a) állításból, hiszen pontosan ugyanazok a függvények homotópok f-fel mint g-vel.

Legyen F : Z → Y a (c) állításban szereplő függvény. A 13.6. Tétel alapján választunk egy olyan folytonosan diferenciálható függvényt, amelyik F-fel csúcstartóan homotóp. Világos, hogy az F|_X megszorítás csúcstartóan homotóp f-fel, tehát definíció szerint deg(f) = deg(F|_X). Másrészt, 13.9. Tétel(b) miatt deg(F|_X) = 0. Ezzel beláttuk a (c) állítást is. □

13. Fokszám