Végeredmény: Az alábbi izomorfizmusok valójában gyűrű-izomorfizmusok, de most csak fokszámozott csoport-izomorfizmust kell bizonyítani:

A homológia-csoportok vizsgálatát az olvasóra hagyjuk. □

Ötlet. Legyenek {e_i} illetve {f_j} a cellák a két ℂℙ^∞ CW-felbintásában, dim(e_i) = dim(f_i) = 2i. A szorzat-tér d-dimenziós cellái:

Végeredmény: Átvesszük a 31.1. Példából a c_j jelölést, a 31.3. Feladattal kapcsolatban bevezetett [e_i × f_j] és xⁱy^j jelöléseket.

Ötlet. Legyen (x₀,x₁,…x_k) egy homogén koordináta-rendszer a ℂℙ^k téren! Jelölje A_i illetve B_i azt a két lineáris alteret ℂℙ^k-ben, amelyet az x_i+1 = x_i+2 = = x_k = 0, illetve az x₀ = x₁ = = x_i = 0 egyenlet-rendszer határoz meg! Világos, hogy dim(A_i) = i és dim(B_i) = k − i − 1, a két altér diszjunkt, és együtt kifeszítik az egyész ℂℙ^k teret. Legyen _i azon komplex egyenesek halmaza, amelyek az A_i és a B_i alterek egy-egy pontját kötik össze! Lásd be, hogy az A_i ∪ B_i halmaz komplementumának minden pontján keresztül pontosan egy _i-beli egyenes halad át.

Keress egy olyan ϕ_i : ℂℙ^k → ℂℙ^k transzformációt, amelyik az A_i és a B_i altereket minden pontját helyben hagyja, az _i-beli egyeneseket saját magukba képezi, az A_i altér egy U_i nyílt környezetét homeomorfan képezi az B_i komplementumára, az U_i komplementumán pedig egy retrakció a B_i altérre! (Tehát ϕ_i az U_i környezetet az A_i centrumból az _i-beli egyenesek mentén „felfújja”, hogy kitöltse az egész ℂℙ^k \ B _i halmazt.)

Ezután keress olyan ψ_i : ℂℙ^k → ℂℙ^k transzformációt, amelyik az A_i és az B_i altereket minden pontját helyben hagyja, az _i-beli egyeneseket saját magukba képezi, az U_i zárt halmazon retrakció az A_i altérre, az U_i komplementumát pedig homeomorfan képezi az A_i komplementumára. (Tehát ψ_i az U_i komplementumát, ami az A_i altér egy környezete, az A_i centrumból az _i-beli egyenesek mentén „felfújja”, hogy kitöltse az egész ℂℙ^k \ A _i halmazt.)

Jelölje Δ az X = ℂℙ^k × ℂℙ^k szorzat-tér átlóját! Tekintsük a Φ _i = ϕ_i × ψ_i szorzat-leképezéseket: ezek az X teret saját magára képezik. Lásd be, hogy mindegyik Φ_i homotóp az identitás-leképezéssel!

Lásd be, hogy Φ₀ úgy képezi a Δ sokaságot X-be, hogy az A₀ × A₀ pont egy környezetével irányítástartóan, egyrétegűen lefedi a ℂℙ^k × A₀ részsokaságot, a környezet komplementumát pedig a B₀ × ℂℙ^k részsokaságba képezi!

Lásd be, hogy a Φ₁∘Φ₀ kompozíció úgy képezi a Δ sokaságot X-be, hogy az (A₁ × A₁) ∩ Δ egyenes egy környezetével irányítástartóan, egyrétegűen lefedi a ℂℙ^k×A ₀ és a B₀×A₁ részsokaságokat, a környezet komplementumát pedig a B₁ × ℂℙ^k részsokaságba képezi!

Lásd be i szerinti teljes indukcióval, hogy a Φ_i ∘ Φ_i−1 ∘∘ Φ₁ ∘ Φ₀ kompozíció úgy képezi a Δ sokaságot X-be, hogy az (A_i × A_i) ∩ Δ  i-dimenziós altér egy környezetével irányítástartóan, egyrétegűen lefedi a ℂℙ^k × A ₀, B₀ × A₁, B₁ × A₂, ..., B_i−1 × A_i+1 részsokaságokat, a környezet komplementumát pedig a B_i × ℂℙ^k részsokaságba képezi!

Tehát a Φ_k∘Φ_k−1∘∘Φ₁∘Φ₀ kompozíció úgy képezi a Δ sokaságot X-be, hogy a kép irányítástartóan, egyrétegűen lefedi a ℂℙ^k × A ₀, B₀ ×A₁, B₁ ×A₂, ..., B_k−1 ×A_k részsokaságokat. Ebből már következik az állítás. □

Ötlet. A ℂℙⁿℂℙ^∞ beágyaás homomorfizmust indukál a kohomológia-gyűrűk között. Lásd be, hogy ez n fokszámig izomorfuzmus, n-nél magasabb fokszámokra pedig nulla! □

Bizonyítás. Ugyanúgy megy, mint a komplex projektív tereknél. □