[next] [prev] [prev-tail] [tail] [up]

32. Grassmann sokaság

32.1. Definíció (Grassmann sokaság). Legyenek 0 < k < n egész-számok, V egy n-dimenziós valós (illetve komplex) vektortér. A Grassmann-sokaság a V -beli k-dimenziós lineáris altereket paraméterezi, szokásos jelölések: Gr(k,V ), Gk(V ), Gr(k,n). A Grassmann-sokaság pontjai tehát a k-dimenziós alterek V -ben, térképeket pedig így kapunk:

Válasszunk egy V = X0 ⊕ F direkt felbontást, ahol dim(X0) = k és dim(F) = n − k. Jelölje U ⊂ GR(n,V ) az olyan X < V  k-dimenziós alterek halmazát, melyekre X ∩ F = {0}. Minden ilyen alterek egy X0 → F homomorfizmus grafikonja, így U-t azonosítottuk a Hom(X0,F) vektortérrel. Ez egy térkép az U ⊂ Gr(n,V ) részhalmazon. Tekintsük az összes lehetséges V = X0 ⊕ F felbontást, így az egész Grassmann sokaságot lefedjük térképekkel, tehát Gr(k,V ) egy differenciálható sokaság (illetve komplex sokaság).

32.2. Feladat. Lásd be, hogy az U halmaz csak az F altértől függ, az X0-tól független! Lásd be, hogy a térképek lefedik az egész Grassmann sokaságot! Lásd be, hogy a térképek közötti koordináta-transzformációk differenciálhatók (sőt, polinomok)!

32.3. Konstrukció (zászló). Legyen ℝ∞ egy végtelen dimenziós vektortér egy rögzített megszámlálható bázissal: f1,f2,f3,…. Minden n ≥ 0 egészre azonosítjuk ℝn-et az első n bázisvektor által kifeszített altérrel, ortogonális komplementuma tehát a többi bázisvektor által kifeszített altér:

ℝn = ⟨f1,f2,...,fn ⟩; (ℝn)⊥ = ⟨fn+1, fn+2,fn+3,...⟩.
Világos, hogy így két végtelen altér-láncot kapunk:
∞⋃ 0 < ℝ1 < ℝ2 < ℝ3 < ...; ℝn = ℝ∞ n=1
⋂∞ ℝ ∞ > (ℝ1)⊥ > (ℝ2 )⊥ > (ℝ3 )⊥ > ...; (ℝn )⊥ = 0 n=1
(Az ilyen altér-láncokat zászlónak nevezik.) Ugyanezt a konstrukciót elismételjük komplex vektorterekkel is:
∞ 1 2 3 ⋃ n ∞ 0 < ℂ < ℂ < ℂ < ...; ℂ = ℂ n=1
∞ ∞ 1 ⊥ 2 ⊥ 3⊥ ⋂ n ⊥ ℂ > (ℂ ) > (ℂ ) > (ℂ ) > ...; (ℂ ) = 0 n=1

32.4. Definíció (végtelen Grassmann sokaság). Tekintsük a 32.3. Konstrukcióban szereplő altér-láncot ℝ∞-ben. Ez a lánc beágyazásokat indukál a megfelelő Grassmann-sokaságok között, az uniójukat (valós) végtelen Grassmann-sokaságnak hívjuk:

k+1 k+2 k+3 Gr (k,ℝ ) ⊂ Gr (k,ℝ ) ⊂ Gr (k,ℝ ) ⊂ ...
⋃∞ Gr (k, ℝ∞ ) = Gr(k,ℝn ). n=k+1
Ugyanezt a játékot eljátszuk komplex vektorterekkel is, így kapjuk a komplex végtelen Grassmann-sokaságot:
k+1 k+2 k+3 Gr (k,ℂ ) ⊂ Gr (k,ℂ ) ⊂ Gr (k,ℂ ) ⊂ ...
∞ ∞ ⋃ n Gr (k, ℂ ) = Gr(k,ℂ ). n=k+1

32.5. Definíció (Univerzális nyaláb). Tekintsük a Gr(k, ℝ∞) × ℝ∞ triviális vektor-nyalábban az olyan (V,x) párok részhalmazát (emélkezz: V altér, x pedig vektor ℝ∞-ben), melyekre az x vektror benne van a V altérben! Ez a részhalmaz egy k-rangú vektor-nyaláb, amit univerzális nyalábnak hívunk, és γk-val jelölünk.

Az univerzális nyaláb elnevezést az alábbi tétel indokolja:

32.6. Tétel. Legyen X egy CW-komplexus! Tetszőleges f : X → Gr(k, ℝ∞) folytonos leképezéshez redeljük hozzá az f∗γ k vektor-nyalábot. Ez egy bijekciót ad az X feletti k-rangú vektor-nyalábok izomorfia-osztályai, és az X → Gr(k, ℝ∞) folytonos leképezések homotópia-osztályai között.

32.7. Feladat. Fogalmazd meg a 32.4. Definíció és a 32.6. Tétel komplex vektornyalábokra vonatkozó variánsát!

32.8. Definíció (Schubert-cellák). Legyen σ = (σ1,σ2,…,σk) egy olyan egészszámokból álló sorozat, melyre 1 ≤ σ1 < σ2 < ⋅⋅⋅ < σk. Használjuk a 32.3. Konstrukció jelölését. A σ Schubert-szimbólumhoz tartozó (valós) Schubert-cella, eσ ⊂ Gr(k, ℝ∞), az olyan X < ℝ∞  k-dimenziós alterek halmaza, melyekre

( ) ( ) dim X ∩ ℝ σi = i, dim X ∩ ℝ σi−1 = i − 1 minden i- re.
A σ-hoz tartozó komplex Schubert-cella, eσℂ ⊆ Gr(k, ℂ∞), az olyan X < ℂ∞ komplex alterek halmaza, melyekre
dim (X ∩ ℂ σi) = i, dim (X ∩ ℂσi−1) = i − 1 minden i-re. ℂ ℂ

32.9. Tétel. A eσℂ ⊂ Gr(k, ℂ∞) részhalmaz egy cella, dimenziója

[ ] dim(e ) = 2 (σ − 1) + (σ − 2) + ⋅⋅⋅ + (σ − k) . σ 1 2 k
A komplex Schubert-cellák páronként diszjunktak, és a Gr(k, ℂ∞) Grassmann-sokaság CW-felbontását adják. A Gr(k, ℂn) Grassmann-sokaság pedig egy CW-rész-komplexus: azon Schubert-cellákból áll, melyekre σk ≤ n.

Bizonyítás. Be kell látni, hogy eσ egy ...-dimenziójú cella, és a pereme benne van a kisebb cellák uniójában. Ezért tényleg CW-komplexus.

Egy X ∈ eσ altér pontosan akkor van benne ℝn-ben, ha σ k ≤ n. Minden ℝn-beli k-dimenziós altér benne van pontosan egy e σ-ban. Ezért a CW-komplexus kitölti az egész végtelen Grassmann-sokaságot, és Gr(n, ℝn) éppen a megadott CW-rész-komplexus. □

32.10. Tétel. Az eσ ⊂ Gr(k, ℝ∞) részhalmaz egy cella, dimenziója

dim (eσ) = (σ1 − 1) + (σ2 − 2) + ⋅⋅⋅ + (σk − k ).
A Schubert-cellák páronként diszjunktak, és a Gr(k, ℝ∞) Grassmann-sokaság CW-felbontását adják. A Gr(k, ℝn) Grassmann-sokaság pedig egy CW-rész-komplexus: azokból a Schubert-cellákból áll, melyekre σk ≤ n.

32.11. Tétel. A komplex végtelen Grassmann sokaság kohomológia-gyűrűje egy polinom-gyűrű k generátorral, melyek fokai rendere 2, 4, 6,…, 2k. A 2i-fokú generátort i-edik Chern-osztálynak hívjuk, ci-vel jelöljük.

( ) H ∗ Gr (k,ℂ ∞);ℤ = ℤ [c ,c ,...,c ], deg(c ) = 2i 1 2 k i

Bizonyítás. Tekintsük a Gr(k, ℂ∞) Grassmann-sokaság 32.8. Definícióban megkonstruált CW-felbontását. Ebben minden cella páros-dimenziós, tehát a H2m(Gr(k, ℂ∞); ℤ) kohomológia-csoportok mind szabad Abel-csoportok, rangjuk megegyezik az 2m-dimenziós cellák számával, tehát az olyan σ = (σ1,σ2,…,σk) egész-szám sorozatok számával, melyekre

m = (σ1− 1)+(σ2− 2)+ ⋅⋅⋅+(σk− k), 0 ≤ σ1− 1 ≤ σ2− 2 ≤ ⋅⋅⋅ ≤ σk− k.
Másrészt, tekintsük az
A = ℤ[c ,c ,...,c ], deg(c) = 2i 1 2 k i
polinom-gyűrűt. Definíció szerint a c1r1c 2r2⋅⋅⋅c krk monom foka r 1 + 2r2 + ⋅⋅⋅ + krk, tehát az A gyűrű 2m-fokú homogén komponensének rangja megeryezik az olyan r = (r1,r2,…,rk) sorozatok számával, melyekre
m = r + 2r + ⋅⋅⋅ + kr , r ≥ 0 minden i-re. 1 2 k i
Minden egyes ilyen r sorozathoz rendejük hozzá azt a σ sorozatot, amelyre σ1 − 1 = rk, σ2 − 2 = rk + rk−1, és általában
σi − i = rk + rk−1 + ⋅⋅⋅ + rk−i+1 minden i- re.
Ez a sorozat kielégíti a σ-re szabott feltételeket, és könnyen visszakapható belőle az eredeti r-sorozat. Tehát minden m-re pontosan ugyanannyi r sorozat van, mint ahány σ sorozat. Ezzel beláttuk, hogy a H2m(Gr(k, ℂ∞); ℤ) Abel-csoport izomorf az A gyűrű 2m-fokú homogén komponensével, tehat a kohomológia-gyűrű, mint fokszámozott Abel-csoport, izomorf A-val.

A gyűrű-struktúrát később, a zászló-sokaságok segítségével határozzuk meg. □

32.12. Definíció (Zászló sokaság). ℂn-beli k-dimenziós teljes zászlónak hívjuk az olyan (L 1,L2,…,Lk) k-asok halmazát, ahol Li ≤ ℂn páronként ortogonális egy-dimenziós komplex alterek. Jelölje F(k, ℂn) az összes ℂn-beli k-dimenziós zászló halmazát — ez könnyen elllátható topológiával, sőt, differenciálható sokasággá tehető, ezért zászló-sokaságnak hívjuk. A 32.3. Konstrukció természetes beágyazásokat indukál, ezért definiálhatjuk a végtelen zászló-sokaságot is:

∞⋃ F (k,ℂk ) ⊂ F (k,ℂk+1 ) ⊂ F (k,ℂk+2 ) ⊂ ..., F (k,ℂ ∞ ) = F (k,ℂn ). n=k

32.13. Feladat. Jelölje F′(k, ℂn) az olyan F 1 < F2 < ⋅⋅⋅ < Fk < ℂn altér-sorozatok halmazát, ahol dim(F i) = i. Mutass egy-egy értelmű megfeletetést F(k, ℂn) és F′(k, ℂn) között!

32.14. Megjegyzés. Sokan a 32.13. Feladatban leírt módon definiálják a zászló-sokaságot. Ennek a módszernek megvan az az előnye, hogy nem használ merőlegességet, így tetszőleges testre is általánosítható.

32.15. Feladat. Rögzítsünk egy Hk < Hk−1 < ⋅⋅⋅ < H1 < ℂn altér-láncot, ahol dim(Hi) = n − i minden i-re! Azt mondjuk, hogy egy (L1,…,Lk) zászló transzverzális a {Hi} altér-láncra, ha Li ⁄⊂ Hi minden i-re. Mutass egy bijekciót a {Hi} altér-láncra transzverzális zászlók és az ⊕i=1kH i vektortér elemei között! Lásd be, hogy ezen a módon F(k, ℂn) sokasággá tehető! Mennyi a dimenziója?

Ötlet. Ahhoz, hogy sokaságot kapjunk, fel kell írnunk a koordináta-transzformációt két különböző altér-lánchoz tartozó térkép között. □

32.16. Feladat. Minden i = 1, 2,…,k értékre tekintsük azt a ϕi : F(k, ℂ∞) → ℂℙ∞ leképezést, ami az (L 1,…,Lk) zászlóhoz az Li egyenest rendeli! (A projektív tér az origón átmenő egyenesek tere.) Bizonyítsd be, hogy ϕi folytonos! Mutasd meg, hogy ϕi egy F(k − 1, ℂ∞)-nyaláb (lásd a 12.2. Definíciót)!

32.17. Feladat. Tekintsük i = 1, 2,…,k-ra a 32.16. Feladat ϕi : F(k, ℂ∞) → ℂℙ∞ leképezéseit! A végtelen projektív tér kohomológia-gyűrűje a ℤ[c1] polinom-gyűrű (lásd a 31.1. Példát), vezessük be az xi = ϕi∗c 1 jelölést! (Ezek mind második kohomológia-osztályok.) Lásd be, hogy a zászló-sokaság kohomológia-gyűrűje

( ) H ∗ F (k,ℂ ∞ );ℤ ∼= ℤ [x1,x2,...,xk], deg (xi) = 2minden i-re!

Ötlet. F(1, ℂ∞) = ℂℙ1, tehát k = 1-re igaz az állítás. (Lásd a 31.1. Példát!) Az általános esetet k-szerinti indukcióval bizonyíthatjuk. A 32.16. Feladat szerint ϕk egy F(k−1, ℂ∞)-nyaláb. A rost tehát szintén zászló-sokaság, így annak is definiálhatjuk a „saját xi kohomológia-osztályait” (i < k esetén) — a félreértés elkerülése végett ezeket xi′-vel jelöljük. Mutasd meg, hogy i = 1, 2,…,k − 1-re, ha az xi kohomológia-osztályt egy rostra megszorítjuk, akkor az xi′ osztályát kapjuk!

Az indukciós feltétel szerint tehát a kohomológia-gyűrűben az x1,x2,…,xk−1 osztályok által generált részgyűrű egy polinom-gyűrű.

A polinom-gyűrű szabad Abel-csoport, tehát alkalmazhatjuk a ϕk nyalábra a Leray-Hirsch tételt (lásd a 28.1. Tételt). Ezért F(k, ℂ∞) kohomológia-gyűrűje egy szabad ℤ[xk]-modulus, melynek bázisát az x1,x2,…,xk−1 változókból épített monomok alkotják. Ebből már következik az állítás. □

32.18. Feladat. Mutasd meg, hogy a F(k, ℂn) zászló-sokaság kohomológia-gyűrűje szabad Abel-csoport!

Ötlet. A 32.16. Feladat mintájára konstruálj egy F(k − 1, ℂn−1) → F(k, ℂn) → ℂℙn−1 nyalábot! Alkalmazd a Leray-Hirsh tételt (lásd a 28.1. Tételt), k szerinti teljes indukcióval bizonyítsd az állítást! □

Alternatív ötlet. A Schubert-cellák mintájára itt is konstruálhatunk CW-felbontást csupa páros-dimenziós cellával. □

32.19. Feladat. Tekintsük azt a ψ : F(k, ℂ∞) → Gr(k, ℂ∞) leképezést, amelyik minden (L1,…Lk) zászlóhoz az L1 + ⋅⋅⋅ + Lk alteret rendeli! Bizonyítsd be, hogy ψ folytonos! Mutasd meg, hogy ϕ egy F(k, ℂk)-nyaláb!

32.20. Feladat. Tekintsük a 32.19. Feladatbeli ϕ nyalábot! Bizonyítsd be, hogy a

( ) ( ) ϕ∗ : H ∗ Gr (k,ℂ ∞ );ℤ → H ∗ F (k,ℂ ∞ );ℤ ∼= ℤ [x1,...,xk]
homomorfizmus injektív, és a képe éppen a szimmetrikus polinomok rész-gyűrűje! Tehát a Grasmann-sokaság kohomológia-gyűrűje valóban a 32.11. Tételben megadott polinom-gyűrű.

Ötlet. Permutáld az egyeneseket a F(k, ℂ∞)-beli zászlókban! Így hat az Sk szimmetrikus csoport a zászló-sokaságon. Lásd be, hogy az Sk hatás az xi kohomo-lógia-generátorokat is permutálja! Lásd be, hogy a ψ leképezés Sk-invariáns! Ezért ψ∗ képe szimmetrikus polinomokból áll.

Alkalmazd a Leray-Hirsh tételt a ϕ nyalábra! Abból következik, hogy ψ∗ injektív, és a képe direkt összeadandó. A 32.11. Tétel bizonyításában már láttuk, hogy Hn(Gr(k, ℂ∞); ℤ) ugyanakkora rangú, mint a homogén n-fokú szimmetrikus polinomok csoportja.

Lásd be, hogy egy G véges rangú szabad Abel-csoportban minden valódi direkt összeadandónak kisebb a rangja, mint G-nek. Ebből következik, hogy ψ∗ képe egyenlő a szimmetrikus polinomok gyűrűjével. □

32.21. Tétel. A valós végtelen Grassmann sokaság ℤ2-együtthatós kohomológia-gyűrűje egy polinom-gyűrű k generátorral, melyek fokai rendere 1, 2, 3,…,k. Az i-fokú generátort i-edik Stiefel-Whitney-osztálynak hívjuk, wi-vel jelöljük.

( ) H ∗ Gr(k,ℝ ∞ );ℤ2 = ℤ2[w1,w2, ...,wk], deg(wi ) = i

Bizonyítás. A 32.10. Tétel ad egy CW-felbontást. Be kell látni, hogy egy m-dimenziós Schubert-cella pereme minden (m − 1)-dimenziós cellát vagy kétszer fed le, vagy nullaszor. Ezért a CW-lánc-komplexusban minden differenciál nulla. A bizonyítás többi rész ugyanaz, mint a komplex Grassmann-sokaság esetében. □

[next] [prev] [prev-tail] [front] [up]