[next] [prev] [prev-tail] [tail] [up]

2. Komplexusok

2.1. Definíció. Egy K⋅ komplexus az alábbi, R-modulusokból álló (mindkét irányban végtelen) diagramot jelöli:

⋅⋅⋅------K0 --d---K1 ---d-- K2 ---d--K3 --d---⋅⋅⋅
amelyben d2 = 0 teljesül (itt d2 jelöli d-nek d-vel való kompozícióját). (De használhatunk alsó indexeket is: 1.2. Konvenció). A K⋅ komplexus felülről korlátos, ha egy p0 indextől kezdve minden p > p0 indexre Kp = 0, és alulról korlátos, ha egy n 0 indextől kezdve minden n < n0 indexre Kp = 0. Azt mondjuk, hogy K⋅ valamerről kotlátos, ha a két korlátossági feltétel közül az egyik teljesül.

Legyen L⋅ egy másik komplexus. Egy f⋅ : K⋅ → L⋅ lánc-homomorfizmus a következő kommutatív diagramot jelöli:

------ 0 --d--- 1---d-- 2 ---d-- 3 --d--- ⋅⋅⋅ L | L| L| L| ⋅⋅⋅ f0 | f1| f2| f3 | d d d d ⋅⋅⋅------K0 ------K1 ------ K2 ------K3 ------⋅⋅⋅
Lánc-homomorfizmusok egy K⋅ f⋅ − →L⋅ g⋅ −→M⋅ sorozata egzakt, ha a benne szereplő Kn fn − →Ln gn − →Mn sorozatok mind egzaktak.

2.2. Definíció. Ebben a jegyzetben Ab jelöli az Abel csoportok kategóriáját, és A−b→ jelöli az Abel csoport komplexusok kategóriáját.

2.3. Definíció. Legyen K⋅ egy komplexus. Az n-edik homológiája a következő hányados-modulus:

d ∕ d Hn (K ⋅) = Ker (Kn −→ Kn+1 ) Im (Kn −1− → Kn )
Minden K⋅ ⋅ −f→L⋅ lánc-homomorfizmus meghatároz egy
n ⋅ n ⋅ n ⋅ H (f ) : H (K ) → H (L )
homomorfizmust: ha k ∈Kn reprezentálja a k ∈ Hn(K⋅) elemet, akkor f(k) reprezentálja a képét, Hn(f)(k)-t. Ezzel a definícióval Hn egy kovariáns funktor a komplexusok kategóriájából a modulusok kategóriájába.

2.4. Konvenció. Ha az L⋅ komplexust alul indexeljük, akkor a homológia-modulusait is alsó indexszel írjuk: Hn(L⋅).

2.5. Feladat. Bizonyítsd be, hogy a 2.3. Definícióban f(k) valóban reprezentál egy homológia-osztályt (azaz d(f(k)) = 0), és ez az osztály nem függ k-tól, csak a homológia-osztályától, k-tól. Bizonyítsd be, hogy Hn tényleg funktor: kompatibilis a lánc-homomorfizmusok kompozíciójával.

2.6. Tétel. Legyen 0−→K⋅ f⋅ −→L⋅ g⋅ −→M⋅−→0 komplexusok egy rövid egzakt sorozata. Ehhez tartozik egy hosszú egzakt sorozat, ami funktoriálisan függ az eredeti sorozattól:

⋅⋅⋅⋅⋅⋅ Hn −1(K ⋅) Hn−-1(f⋅)-Hn −1(L ⋅) -Hn−1(g⋅) Hn −1(M ⋅) BC- ---------------δ∗ --------------- GF | Hn(f⋅) Hn (g⋅) Hn (K ⋅) ----------Hn (L ⋅) ----------Hn (M ⋅) --------------- ∗ --------------BC- GF δ | n+1 ⋅ Hn+1(f⋅)- n+1 ⋅ -Hn+1(g⋅) n+1 ⋅ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ H (K ) H (L ) H (M )
Itt a δ∗ határ-homomorfizmus definíciója: ha m ∈Mn reprezentál egy m ∈ Hn(M⋅) homológia elemet, akkor a δ∗m ∈ Hn+1(K⋅) elemet
−1( − 1 ) n+1 f d(g (m )) ∈ K
reprezentálja. Ebben a formulában f−1 és g−1 nem egyértelmű, bármelyik őskép választható.

2.7. Feladat. Diagram vadászat! Lásd be, hogy a 2.6. Tételben a formula valóban egy homológia-osztályt reprezentál, és a kapott δ∗m osztály nem függ a választásoktól.

2.8. Feladat. Diagram vadászat! Lásd be, hogy a 2.6. Tételben szereplő sorozat valóban egzakt.

2.9. Lemma (5-lemma). Tegyük fel, hogy az alábbi diagram (előjel erejéig) kommatív, a sorai egzaktak, és a görög betűvel jelölt függőleges nyilak mind izomorfizmusok. Ekkor az ötödik (betű nélküli) függőleges nyíl is izomorfizmus.

A -----B -----C -----D -----E | | | | | α | β | | δ| ϵ| ----- ----- ----- ----- X Y Z U V

2.10. Feladat. Diagram vadászat! Lásd be a 2.9. Lemmát!

2.11. Feladat. Legyen 0 →A⋅ →B⋅ →C⋅ → 0 komplexusok egy rövid egzakt sorozata. Bizonyítsd be, hogy ha a három komplexus közül kettő egzakt, akkor a harmadik is az!

Ötlet: Következik a 2.6. Tételből. Másik lehetőség: egyszerű diagram vadászat. □

2.12. Definíció. Egy f⋅ : K⋅ → L⋅ lánc-homomorfizmust lánc-ekvivalenciának nevezünk, ha Hn(f⋅) izomorfizmus minden n-re. A K⋅, M⋅ komplexusok lánc-ekvivalensek, ha lánc-ekvivalenciák egy láncolatával összeköthetők:

∼= ∼= ∼= ∼= K ⋅← − X ⋅1 −→ X2⋅← − ⋅⋅⋅X ⋅n −→ M ⋅

2.13. Megjegyzés. A 2.12. Definícióban elegendő lenne két lépéses láncolatokat használni (azaz n = 1). Ha a komplexusok kategóriáját úgy módosítjuk, hogy a lánc-ekvivalenciákat izomorfizmusokká tesszük (tehát bevezetjük az inverzüket, és az azokból kiszámítható összes kompozíciót is), akkor a modulus-kategória derivált kategóriájához jutunk.

2.14. Definíció. Legyenek f⋅,g⋅ : K⋅ →L⋅ lánc-homomorfizmusok. Azt mondjuk, hogy f és g lánc-homotópok, ha van köztük egy lánc-homotópia, azaz egy h⋅ : K⋅ →L⋅−1 lánc-homomorfizmus amire

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ dh + h d = f − g
Azt mondjuk, hogy f⋅ homotóp ekvivalencia, ha van homotópia inverze, azaz ha van olyan f˜ ⋅ : L⋅ →K⋅ lánc-homomorfizmus, amelyre az f⋅∘˜f ⋅ és a ˜f ⋅∘f⋅ kompozíciók homotóp ekvivalensek a L⋅ illetve a K⋅ identitás lánc-homomorfizmusával.

2.15. Tétel. Ha f⋅,g⋅ : K⋅ → L⋅ lánc-homotóp lánc-homomorfizmusok, akkor Hn(f⋅) = Hn(g⋅) minden n-re. Ha f homotóp ekvivalencia, akkor lánc-ekvivalencia.

2.16. Feladat. Bizonyítsd be a 2.15. Tételt.

2.17. Következmény. Azt mondjuk, hogy a K⋅ komplexus pontrahúzható, ha a K⋅ id − →K⋅ identitás lánc-homomorfizmus homotóp ekvivalens a nulla lánc-homomorfizmussal. Egy pontrahúzható komplexus egzakt.

Bizonyítás. A nulla komplexus rész-komplexusa K⋅-nak, és a 0`→K⋅ beágyazás egy homotóp ekvivalencia. Alkalmazzuk a 2.15. Tételt. □

2.18. Feladat. Lásd be a 2.17. Következményt közvetlenül, diagram vadászattal.

2.19. Megjegyzés. A 2.15. Tétel támasztja alá azt a filozófiát, hogy egy komplexust bármikor kicserélhetünk egy vele lánc-ekvivalensre. Speciális eset: egy modulus helyett dolgozhatunk egy projektív vagy egy injektív feloldásával (lásd a 4.2. Definíciót és a 4.3. Definíciót).

[next] [prev] [prev-tail] [front] [up]