[next] [prev] [prev-tail] [tail] [up]

15. CW-homológia, CW-kohomológia

Ebben a fejezetben sokat dolgozunk irányított sokaságokkal. Ez egy jól ismert fogalom, ha a dimenzió legalább egy, de érdemes pár szót szólni a nulla dimenziós sokaságokról:

15.1. Definíció. Egy 0-dimenziós sokaság irányítása azt jelenti, hogy minden pontja kap egy előjelet (+ vagy −). Egy 1-dimenziós irányított kompakt sokaság peremét úgy irányítjuk, hogy a benne szereplő szakaszok végpontjai + előjelet kapnak, a kezdőpontok pedig − előjelet.

Legyen X egy irányított kompakt 0-dimenziós sokaság, P egy irányított pont, f pedig az X → {P} leképezés (csak egy ilyen van). Jelölje deg(X) az X-beli + illetve − előjelű pontok számának különbségét! Ha P előjele +, akkor deg(f) = deg(X), ha pedig P előjele negatív, akkor deg(f) = − deg(X).

15.2. Konvenció. Ebben a fejezetben CW-komplexusokkal dolgozunk. Az n-cellák — definíció szerint — azonosítva vannak az n-dimenziós tömör egységgöbbbel, ezért irányított peremes sokaságok, a 0-cellák mindig + előjelet kapnak. Az n-cellák pereme tehát irányított (n−1)-dimenziós gömb. Speciálisan, az 1-cellák peremében a végpont + elöjelet, a kezdőpont − előjelet kap.

15.3. Definíció. Legyen X egy CW-komplexus. Használjuk a 14.1. Konvenció jelöléseit! Minden n ≥ 0-ra legyen ΔnCW (X) az X n-cellái által generált szabad Abel csoport. Amikor csoport-elemekről beszélünk, [enα]-nel jelöljük az e nα cellát. Legyen e nα egy n-cella, e n−1β pedig egy (n − 1)-cella. Tekintsük az alábbi kompozíciót:

α ∨ pr ∂eα −ϕn→ X → X ∕X = (eγ ∕∂eγ ) − β→ eβ ∕∂eβ . n n−1 n− 1 n−2 n−1 n− 1 n− 1 n−1 γ
Ez egy
α,β n− 1 n− 1 ψn : S → S
folytonos függvény. Könnyen látható, hogy minden enα cellához csak véges sok olyan en−1β cella található, amelyre a deg(ψ nα,β) fokszám (lásd a 13.10. Definíció) nem nulla. Minden n-re definiálunk egy homomorfizmust:
∂ ( ) ∑ ΔCWn (X )− → ΔCWn− 1(X ) , ∂ [eαn] = deg(ψnα,β) ⋅ [eβn− 1]. β
ΔnCW (X) elemeit n-láncoknak hívjuk. Ha L egy n-lánc, akkor ∂L-et hívjuk az L határának.

Be fogjuk látni, hogy a ΔnCW (X) csoportok a fenti homomorfizmusokkal egy komplexust alkotnak. Ez a Δ⋅CW (X) komplexus az X tér CW-lánc-komplexusa.

15.4. Feladat. Lásd be, hogy a 15.3. Definícióban minden enα cellához csak véges sok olyan en−1β cella található, amelyre deg(ψnα,β)≠0.

Ötlet: A kompaktság miatt csak véges sok olyan cella van, amelyik teljes egészében benne van ϕnα képében. □

15.5. Definíció. Legyenek X, Y CW-komplexusok és f : X → Y egy CW-függvény (14.2. Definíció). Használjuk a 14.1. Konvenció jelöléseit! Az X n-celláit enα-val jelöljük (α az index), az Y n-celláit pedig Enβ-val (β az index). Tekintsük az alábbi kompozíciót:

f ∨ ( ) prβ eαn −→ Yn → Yn∕Yn −1 = E γn∕∂E γn −→ E βn∕∂E βn. γ
Ez indukál egy
∕ fα,β : eα ∂e α→ E β∕∂E β n n n n n
folytonos függvényt (mindkét tér homeomorf az n-dimenziós gömbbel). Könnyen látható, hogy minden enα cellához csak véges sok olyan E nβ cella található, amelyre a deg(fnα,β) fokszám (lásd a 13.10. Definíciót) nem nulla. Minden n-re definiálunk egy homomorfizmust (és mindegyiket ugyanúgy, f∗-gal jelöljük):
f∗ ∑ ΔCWn (X ) −→ ΔCWn (Y ) , f∗[eαn] = deg(fαn,β) ⋅ [E βn]. β
Be fogjuk látni, hogy ezek a homomorfizmusok összeállnak egy Δ⋅CW (X) → Δ⋅CW (Y ) lánc-homomorfizmussá, amit szintén f ∗-gal fogunk jelölni!

Az előző két definícióban a 13.10. Definíció segítségével konstruáltunk láncokat. Ezt a konstrukciót szeretnénk most általánosítani. n-cellák helyett azonban most egy tetszőleges n-dimenziós sokaságot képezünk Xn-be.

15.6. Definíció. Legyen X egy CW-komplexus, M egy kompakt peremes n-dimenziós differenciálható sokaság, és f : M → Xn egy folytonos függvény, ami az M peremét Xn−1-be képezi. Használjuk a 14.1. Konvenció jelöléseit! Minden enβ ⊆ X n-cellára tekintsük az alábbi kompozíciót:

f ∨ ( γ γ) prβ β β M − → Xn → Xn ∕Xn −1 = en∕∂e n −→ en∕∂en. γ
Ez egy M → enβ∕∂e nβ folytonos függvény, ami az M peremét a kitüntetett pontba viszi, tehát indukál egy
˜fβ : M ∕∂M → eβ∕∂eβ ∼= Sn n n
folytonos függvényt. M∕∂M egy csúcsos sokaság, tehát beszélhetünk az f˜β fokáról (lásd a 13.10. Definíciót). Könnyen látható, hogy csak véges sok olyan enβ cella található, amelyre deg (f˜ β)≠0. Az f által indukált láncot így definiáljuk:
∑ f [M ] = deg(f˜β) ⋅ [eβ]. ∗ n β

15.7. Feladat. A 15.6. Definícióban az f leképezés az X n-vázába érkezett. Miért nem engedhetünk meg minden folytonos f : M → X leképezést, melyre f(∂M) ⊆ Xn−1?

15.8. Tétel. Legyen X egy CW-komplexus, M egy kompakt peremes n-dimenziós differenciálható sokaság, és f : M → Xn egy folytonos függvény, ami az M peremét Xn−1-be képezi. Ekkor

( ) ∂ f [M ] = f [∂M ], ∗ ∗
(3)

ahol a bal oldalon a 15.3. Definíció ∂ homomorfizmusa szerepel, a jobboldalon ∂M pedig az M pereme. Speciális esetben:

( ) ha M zárt, akkor ∂ f∗[M ] = 0.

Bizonyítás. A 13.11. Tétel szerint az egyenlet két oldala nem változik, ha az f-et kicseréljük egy vele homotóp leképezésre. Öt lépésben fogjuk az f-et feljavítani. Legyen enγ ⊆ X egy olyan n-cella, amelyik teljes egészében benne van az f(M) képhalmazban. Az első két lépésben olyan homotópiákat alkalmazunk az f-re, amelyek csak az f−1(e nγ) halmazon változtatják.

1. lépés. A 13.7. Tétel segítségével elérjük, hogy legyen olyan Dγ n-dimenziós golyó az e nγ cella belsejében, amelynek f−1(Dγ) ősképe véges sok páronként diszjunkt n-dimenziós golyóból áll, és ezek mindegyikét f homeomorfan képezi Dγ-ra.

2. lépés. Alkalmazunk még egy homotópiát, amelyik a Dγ golyókat „felfújja”, hogy betöltse vele az egész enγ cellát, az e nγ\Dγ héjat pedig az enγ peremébe deformálja.

3.lépés. Az első két lépés deformációit megismételjük az összes olyan n-cellára, amelyik teljes egészében benne van az f(M) képhalmazban.

4. lépés. Legyen enβ egy olyan n-cella, amelyik kimaradt a 3. lépésben, tehát amelyiknek van f(M)-en kívül eső pontja. Egy homotópiával ebből a pontból „kifújjuk” az enβ cella tartalmát a peremre, tehát a homotópia alkalmazása után f(M) elkerüli enβ belsejét.

5. lépés, A 4. lépést megismételjük az összes olyan enβ cellára, amelyik nem szerepelt a 3. lépésben. Ezzel elérjük, hogy M belsejében legyen véges sok páronként diszjunkt n-dimenziós golyó, B1,…Bm, melyek mindegyikét f homeomorfan képezi valamelyik n-cellára, és a komplementumot az X (n − 1)-vázába képezi.

Legyen B az összes Bi uniója. Ez egy peremes sokaság, és világos, hogy az f megszorítása B-re minden egyes n-cellát pontosan annyiszor fed le (előjelesen számolva), mint az illető cella együtthatója f∗[M]-ben. Könnyen látható tehát, hogy

( ) f∗[B ] = f∗[M ] és f∗[∂B ] = ∂ f ∗[M ] .
Legyen N az a peremes sokaság, amit úgy kapunk, hogy M-ből kivágjuk a B belsejét. Világos, hogy f(N) ⊆ Xn−1, tehát 13.11. Tétel(c) miatt
f ∗[∂N ] = 0.
Az N pereme, mint halmaz, az M és a B pereméből áll össze — de B peremén meg kell fordítani az irányítást, hiszen N és B a perem „szemközti oldalán” helyezkedik el. Ezért
f∗[∂M ] − f∗[∂B ] = f∗[∂N ] = 0.
A fenti kiemelt egyenleteket összevetve kapjuk a (3) egyenletet. □

15.9. Tétel. Legyenek X, Y CW-komplexusok, f,g : X → Y CW-függvények, és h : X × [0, 1|→ Y egy CW-homotópia f és g között.

(a)
Δ⋅CW (X) komplexus, azaz ∂2 = 0.
(b)
f∗ : Δ⋅CW (X) → Δ ⋅CW (Y ) egy lánc-leképezés.
(c)
h indukál egy lánc-homotópiát f∗ és g∗ között.

Bizonyítás. Használjuk a 14.1. Konvenció jelöléseit. Legyen enα az X egyik n-cellája, Φ : enα → X pedig az a leképezés, amelyik a cella belsejében az identitás, a peremen pedig megegyezik a ϕnα ragasztó leképezéssel. Az enα cella egy peremes sokaság, és a 15.6. Definícióból azonnal következik, hogy Φ∗[enα] éppen az [e nα] ∈ Δ nCW (X) generátor elem. A 15.8. Tétel miatt tehát ∂[enα] = Φ ∗[∂enα]. Ha most az ∂enα zárt sokaságra is alkalmazzuk a 15.8. Tételt, akkor azt kapjuk, hogy ∂2[e nα] = 0. Ez Δ nCW (X) minden generátorára teljesül, amiből következik az (a) állítás.

A f∘Φ kompozítió az enα peremes sokáságot az Y CW-komplexusba képezi. Összevetve a 15.6. Definíciót a 15.5. Definícióval láthatjuk, hogy az f∗[enα] lánc megegyezik az (f ∘Φ) ∗[enα] lánccal. A 15.8. Tétel miatt tehát ∂(f∗[enα]) = (f ∘ Φ) ∗[∂enα], amiről az (a) pontban már láttuk, hogy megegyezik az f∗(∂[enα]) lánccal. Ezzel beláttuk a (b) állítást.

Végül a h homotópia segítségével definiálunk minden n-re egy Lh : ΔnCW (X) → Δ n+1CW (Y ) homomorfizmust:

( Ln [eαn]) = h∗[eαn × [0,1 ]].
Az enα × [0, 1] határa három, a peremük mentén összeragasztott, peremes sokaságból áll:
( ) ∂ eαn × [0,1] = ∂eαn × [0,1] ∪ en α × {0} ∪ enα × {1}.
Szigorúan véva enα×[0, 1] nem peremes sokaság (éle van), de homeomorf egy B tömör golyóval, tehát alkalmazhatjuk rá a 15.8. Tételt. Mivel h az „éleket” az X (n − 1)-vázába viszi, azért jogos h∗[∂B] összegre bontása az aábbi egyenletben:
( α [ α ] ∂Ln [en]) = ∂h∗ en × [0,1] = h∗[∂B ] =
[ α ] [ ] [ ] ( ) = h ∗∂e n× [0,1 ]+h ∗ enα ×{0 } +h ∗ enα× {1} = Ln −1 ∂[en] +f ∗[en]− g∗[en]
Ebből látjuk, hogy az Ln homomorfizmusok összeállnak egy f∗ és g∗ közti Δ⋅CW (X) → Δ ⋅CW (Y ) lánc-homotópiává. Beláttuk a (c) állítást is. □

15.10. Feladat. Legyenek X f −→Y g −→Z CW-komplexusok közti CW-függvények. Lásd be, hogy

ΔCW (g ∘ f) = ΔCW (g) ∘ ΔCW (f ) ⋅ ⋅ ⋅

15.11. Tétel.  

(a)
Δ⋅CW : Top CW →A−→b egy kovariáns funktor. (2.2. Definíció és 14.3. Definíció).
(b)
Ha f,g homotóp CW-függvények (tetszőleges folytonosan homotópiával), akkor Δ⋅CW (f) és Δ ⋅CW (g) lánc-homotópok.
(c)
Ha  h  egy olyan CW-függvény, amelyik gyenge homotóp ekvivalencia, akkor Δ⋅CW (h) egy lánc-ekvivalencia.
(d)
Ha az X CW-komplexus pontrahúzható (topológikus térként), akkor Δ⋅CW (X) pontrahúzható komplexus (2.17. Következmény).

Ötlet: A 14.10. Feladat miatt létezik egy CW-homotópia f és g között, Whitehead tétele (14.13. Tétel) miatt h egy homotóp ekvivalencia. Ezért a lemma következik a 15.9. Tételből és a 15.10. Feladatból. □

15.12. Megjegyzés. Legyenek X, Y CW-komplexusok, f : X → Y tetszőleges folytonos függvény! A 14.7. Tétel miatt f homotóp egy ˜ f : X → Y CW-függvényhez. A Δ⋅CW ( ˜ f ) lánc-leképezés függ a ˜ f választásától, de a 14.10. Feladat miatt bármely két választás lánc-homotóp leképezéseket ad. Jelöljük f∗-gal a Δ⋅CW (f˜ ) homotópia osztályát! A 14.7. Tételből és a 14.10. Feladatból következik, hogy

(a)
f∗ csak az [f] homotópia-osztálytól függ,
(b)
ha g : Y → Z egy másik folytonos függvény, akkor (g∘f)∗ = g∗∘f∗,
(c)
ha f homotóp ekvivalencia, akkor f∗ is homotóp ekvivalencia,
(d)
ha X pontrahúzható, akkor Δ⋅CW (X) is pontrahúzható.

15.13. Megjegyzés. Az előző megjegyzés tovább pontosítható: Δ⋅CW kiterjeszthető Top CW -ből az Abel csoportok derivált kategóriájába menő funktorrá. Ez a funktor homotópia-invariáns, tehát indukál egy funktort a homotópia kategóriából az Abel csoportok derivált kategóriájába.

15.14. Definíció. Legyen G egy Abel csoport. Definiáljuk a G-együtthatós CW-homológia és a CW-kohomológia funktorokat:

CW ( ) CW ( CW ) H n X; G = H n Δ ⋅ (X ) ⊗ G n ( ) n ( ( CW )) H CW X; G = H CW Hom Δ ⋅ (X ),G
Mindent általánosíthatunk CW-párokra is:
CW CW ∕ CW Δ ⋅ (X, A) = Δ ⋅ (X ) Δ ⋅ (A) CW ( ) CW ( CW ) Hn X, A;G = H n Δ ⋅ (X, A ) ⊗ G n ( ) n ( ( CW )) H CW X, A;G = H CW Hom Δ ⋅ (X, A ),G

[next] [prev] [prev-tail] [front] [up]