[next] [prev] [prev-tail] [tail] [up]

5. Tenzor-szorzat komplexus, Tor funktor

5.1. Definíció. Legyen K⋅ egy komplexus és M egy modulus. Alkalmazzuk a   ⊗M funktort a K⋅ komplexusra, így kapjuk a K⋅⊗M komplexust:

⋅⋅⋅-∂⊗---Kp −1 ⊗ M -∂⊗---Kp ⊗ M -∂⊗---Kp+1 ⊗ M -∂⊗---⋅⋅⋅
Hasonló módon definiáljuk az M⊗K⋅ komplexust is, ami persze kanonikusan izomorf K⋅⊗ M-mel.

5.2. Definíció. Legyenek K⋅ és L⋅ komplexusok. Az egyszerűség kedvéért most ∂-val jelöljük a K⋅-beli differenciált, d-vel a L⋅ differenciálját. A tenzor szorzat komplexusuk az alábbi, K⋅ ⊗L⋅-lel jelölt kettős komplexus, melynben szintén ∂ és d betűk jelölik a két differenciált:

⋅ ⋅p,q p q (K ⊗ L ) = K ⊗ L , d(k ⊗ l) = k ⊗ d (l), ∂ (k ⊗ l) = ∂ (k ) ⊗ l
(lásd a 3. ábrán) Gyakran használjuk a tenzor szorzat totális komplexusát, a korábbi jelölésekkel összhangban ezt K⋅⊗L⋅⋅ jelöli. (Más könyvekben gyakran K⋅⊗L⋅ jelöli a totális komplexust is.)

.. .. .. .. . . . .| | | | | | | | | ⋅⋅⋅------ K2 ⊗ L0 ---------- K2 ⊗ L1 ---------- K2 ⊗ L2 ---------- K2 ⊗ L3 ----------⋅⋅⋅ | | | | | | | | | | | | ⋅⋅⋅------ K1 ⊗|L0 ---------- K1 ⊗| L1 ---------- K1 ⊗ L2 ---------- K1 ⊗|L3 ----------⋅⋅⋅ | | | | | | | | ⋅⋅⋅------ K0 ⊗ L0 ---------- K0 ⊗ L1 ---------- K0 ⊗ L2 ---------- K0 ⊗ L3 ----------⋅⋅⋅ | | | | | | | | . . . . .. .. .. .. 3. ábra. Tenzor szorzat komplexus

5.3. Feladat. Legyenek K⋅ és L⋅ komplexusok, tegyük fel, hogy az egyik pontrahúzható (2.17. Következmény). Bizonyítsd be, hogy a K⋅⊗L⋅ tenzor szorzat is pontrahúzható!

Ötlet: A tenzor szorzás funktor. Ezért ha egy homotópiát az identitással tenzor-szorzunk, homotópiát kapunk. □

5.4. Definíció. Legyenek M és N modulusok. Válasszunk egy F⋅ → M lapos feloldást (4.2. Definíció), most alsó indexet használunk (1.2. Konvenció). Készítsük el az F⋅⊗N komplexust (5.1. Definíció). Ennek az  n-edik homológiája (alsó indexekkel, lásd az 1.2. Konvenciót) a Tor n(M,N) modulus:

Torn (M, N ) = Hn (F ⋅ ⊗ N )

5.5. Megjegyzés. Bár a jelölésből most kimaradt, a tenzor szorzat, és így a Tor n modulusok is függenek az R gyűrűtől. Ha szükséges kiírnunk, akkor a pontosabb M ⊗RN illetve Tor NR(M,N) jelölések használhatók.

5.6. Megjegyzés. Most egy kommutatív gyűrű felett dolgozunk, ezért M ⊗ N és Tor n(M,N) is modulusok. Általában, ha S nem-kommutatív gyűrű, MS és SN jobb- illetve baloldali S-modulusok, akkor értelmezhetők az MS⊗SSN és a Tor nS(M S,SN) Abel csoportok, de ezek nem lesznek S-modulusok.

5.7. Lemma. Legyenek M és N modulusok. A Tor n(M,N) modulus definíciója nem függ a feloldás választásától. Sőt, a másik tényező tetszőleges G⋅ → N lapos feloldásával kaphatunk egy alternatív definíciót is:

Torn (M, N ) = Hn (M ⊗ G⋅)

Ötlet: Mind a két feloldást használjuk. Alkalmazzuk a 3.24. Következményt az F⋅⊗ N és az M ⊗G⋅ komplexusokra, a kettős komplexus hiányzó részét a F⋅⊗G⋅ tenzor szorzat komplexussal (5.2. Definíció) töltjük ki.

Ezzel beláttuk, hogy az M feloldásából számított Tor n(M,N) modulus izomorf az N feloldásából számítottal, és ez utóbbi izomorf azzal, amit az M egy másik feloldásából kapunk. □

5.8. Feladat. Dolgozd ki részletesen az 5.7. Lemma bizonyítását!

5.9. Feladat. A tenzor-szorzat szimmetrikus. Lásd be, hogy a Tor n funktor is az:

Torn(A, B ) ∼= Torn(B, A )
Mit mondhatunk az asszociativitásról?

5.10. Tétel. Legyen 0 → A f −→B g −→C → 0 egy rövid egzakt sorozat és M egy modulus. Ekkor létezik az alábbi hosszú egzakt sorozat, amelyik funktoriálisan függ a rövid egzakt sorozattól és M-től:

⋅⋅⋅⋅⋅⋅Tor2(A, M ) --------Tor2(B, M )--------Tor2 (C,M ) BC- GF -----------------δ∗----------------- | -------- -------- Tor1(A, M ) Tor1(B, M ) Tor1B(CC,M ) -----------------δ∗----------------- GF | f⊗M g⊗M A ⊗ M ------------B ⊗ M ------------C ⊗ M ----------0

Bizonyítás. Alkalmazzuk a   ⊗M  funktort a 4.6. Lemmában készült szabad feloldásokra. Így komplexusok rövid egzakt sorozatához jutunk. Erre alkalmazzuk a 2.6. Tételt, így jutunk a kívánt egzakt sorozathoz. □

5.11. Feladat. Bizonyítsd be, hogy egy M modulus pontosan akkor lapos, ha Tor 1(M,N) = 0 minden N modulusra! Mutasd meg, hogy ilyenkor Tor n(M,N) = 0 minden n ≥ 1 egészre!

5.12. Feladat. Legyenek I, J ideálok egy (tetszőleges) gyűrűben. Lásd be, hogy

( ) Tor1 R/I, R/J = (I ∩ J )/IJ

5.13. Feladat. Legyen R egy nullosztómentes főideálgyűrű.

(a)
Lásd be, hogy egy M modulus pontosan akkor torzió-mentes, ha Tor 1(M,N) = 0 minden N-re!
(b)
Legyenek M és N modulusok. Lásd be, hogy Tor 1(M,N) torzió modulus! Lásd be, hogy Tor 1(M,N) pontosan azokra a p ∈ R primekre tartalmaz p-torziót, amelyekre mind az M, mind az N torzió része tartalmaz p-torziót!
(c)
Legyenek M és N végesen generált modulusok, a struktúra tétel szetrint felírhatók prímhatvány rendű ciklikus modulusok direkt összegeként. Számítsd ki Tor 1(M,N)-et!

[next] [prev] [prev-tail] [front] [up]