Homomorfizmus komplexus, Ext funktor

6.1. Definíció. Legyen most M egy modulus, ^⋅ egy fölül-indexelt komplexus, _⋅ pedig a következő alul-indexelt komplexus:

⋅⋅⋅ −→ K − ∂→ K −∂→ K −∂→ ⋅⋅⋅ p+1 p p−1

Ha a Hom( ,M) funktort a

_⋅ komplexusra alkalmazzuk, akkor a „sorrend megfordul”, az alábbi Hom(

_⋅,M)^⋅ (felül indexelt) komplexust kapjuk:

⋅⋅⋅ Hom(∂,M) Hom (Kp− 1,M ) Hom(∂,M-) Hom (Kp, M ) Hom(∂,M) Hom (Kp+1, M ) Hom(∂,M-) ⋅⋅⋅

Ha pedig a Hom(M, ) funktort alkalmazzuk a

^⋅ komplexusra, akkor „megmarad az eredeti sorrend”, az alábbi Hom(M,

^⋅)^⋅ (felül indexelt) komplexust kapjuk:

⋅⋅⋅ Hom(M,d) Hom (M, Lp− 1) Hom(M,d) Hom (M, Lp ) Hom(M,d) Hom (M, Lp+1 ) Hom-(M,d) ⋅⋅⋅

6.2. Megjegyzés. Ha a Hom( ,M) funktort egy fölül indexelt komplexusra alkalmazzuk, vagy ha a Hom(M, ) funktort egy alul indexelt komplexusra alkalmazzuk, akkor az eredmény egy alul indexelt komplexus lesz.

6.3. Definíció. Legyen most ^⋅ egy felül indexelt komplexus (1.2. Konvenció), _⋅ pedig a következő alul-indexelt komplexus:

∂ ∂ ∂ ⋅⋅⋅ −→ Kp+1 − → Kp −→ Kp+1 −→ ⋅⋅⋅

A homomorfizmus komplexusuk (4. ábra) az alábbi, Hom

_⋅,

^⋅

-lel jelölt (fölül indexelt) kettős komplexus:

⋅p,q q Hom (K ⋅,L ) = Hom (Kp, L ), df : k → d(f (k)), ∂(f) : k → f(∂(k ))

Az ehhez tartozó totális komplexust mi Hom

_⋅,

^⋅

-lel jelöljük. (Más könyvekben gyakran a Hom

_⋅,

^⋅

jelölést használják a totális komplexusra is.)

4. ábra. Homomorfizmus komplexus. Itt ∘ jelöli a függvény-kompozíciót, egy vonal (azaz ) pedig a változót, ami ez esetben egy homomorfizmus

6.4. Feladat. Legyenek _⋅ és ^⋅ komplexusok, tegyük fel, hogy az egyik pontrahúzható (lásd a 2.17. Következményt). Bizonyítsd be, hogy a Hom _⋅,^⋅ totális komplexus is pontrahúzható!

6.5. Definíció. Legyenek M és N modulusok. Válasszunk egy _⋅ → M projektív feloldást (4.2. Definíció), most alsó indexet használunk (1.2. Konvenció). Készítsük el a Hom(_⋅,N) komplexust (ez már felül-indexelt, lásd a 6.1. Definíciót). Ennek az n-edik homológiája az Ext ⁿ(M,N) modulus:

( ) Extn (M, N ) = Hn Hom (F ,N ) ⋅

6.6. Megjegyzés. Bár a jelölésből most kimaradt, a Hom modulus, és így az Ext ⁿ modulusok is függenek az R gyűrűtől. Ha szükséges kiírnunk, akkor a pontosabb Hom _R(M,N) illetve Ext_Rⁿ(M,N) jelölések használhatók.

6.7. Megjegyzés. Most egy kommutatív gyűrű felett dolgozunk, ezért Hom(M,N) és Ext ⁿ(M,N) is modulusok. Általában, ha S nem-kommutatív gyűrű, _SM és _SN mindketten baloldali S-modulusok, akkor értelmezhetők az Hom _S(_SM,_SN) és az Ext_Sⁿ(_SM,_SN) Abel csoportok, de ezek nem lesznek S-modulusok.

6.8. Lemma. Legyenek M és N modulusok. Az Ext ⁿ(M,N) modulus definíciója nem függ a feloldás választásától. Sőt, a másik tényező tetszőleges N →^⋅ injektív feloldásával (4.3. Definíció) kaphatunk egy alternatív definíciót is:

( ) Extn (M, N ) = Hn Hom (M, I ⋅)

6.9. Feladat. Bizonyítsd be a 6.8. Lemmát: imitáld az 5.7. Lemma bizonyítát!

6.10. Feladat. Adnak-e a szokásos Hom-⊗ azonosságok Ext-Tor azonosságokat?

6.11. Tétel. Legyen 0 → A f
− → B g
−→ C → 0 egy rövid egzakt sorozat és M egy modulus. Ekkor létezik az alábbi hosszú egzakt sorozat, amelyik funktoriálisan függ a rövid egzakt sorozattól és M-től:

-------- -------- -------- 0 Hom (C, M ) Hom (B,M ) Hom (BAC, M ) ----------------- δ∗ ----------------- GF | Ext1(C, M ) --------Ext1 (B,M )-------- Ext1(A, M ) BC ----------------- δ∗ ----------------- GF 2 | 2 2 Ext (C, M ) --------Ext (B,M )-------- Ext (A, M ) ⋅⋅⋅⋅

Bizonyítás. Alkalmazzuk a Hom( ,M) funktort a 4.6. Lemmában készült szabad feloldásokra. Így komplexusok rövid egzakt sorozatához jutunk, Erre alkalmazzuk a 2.6. Tételt, így jutunk a kívánt egzakt sorozathoz. □

6.12. Tétel. Legyen 0 → A f
− → B g
−→ C → 0 egy rövid egzakt sorozat és M egy modulus. Ekkor létezik az alábbi hosszú egzakt sorozat, amelyik funktoriálisan függ a rövid egzakt sorozattól és M-től:

-------- -------- -------- 0 Hom (M, A) Hom (M, B ) HomB(CM, C ) ----------------- δ∗ ----------------- |GF | Ext1(M, A) --------Ext1 (M, B )-------- Ext1(M, C ) BC- ----------------- δ∗ ----------------- |GF 2| 2 2 Ext (M, A) --------Ext (M, B )-------- Ext (M, C ) ⋅⋅⋅⋅

Bizonyítás. Alkalmazzuk a Hom(M, ) funktort a 4.6. Lemmában készült injektív feloldásokra. Így komplexusok rövid egzakt sorozatához jutunk, Erre alkalmazzuk a 2.6. Tételt, így jutunk a kívánt egzakt sorozathoz. □

6.13. Feladat. Bizonyítsd be, hogy egy M modulus pontosan akkor projektív, ha Ext ¹(M,N) = 0 minden N modulusra! Mutasd meg, hogy ilyenkor Ext ⁿ(M,N) = 0 minden n ≥ 1 egészre!

6.14. Feladat. Bizonyítsd be, hogy egy M modulus pontosan akkor injektív, ha Ext ¹(N,M) = 0 minden N modulusra! Mutasd meg, hogy ilyenkor Ext ⁿ(N,M) = 0 minden n ≥ 1 egészre!

6. Homomorfizmus komplexus, Ext funktor