Univerzalis Egyutthato Tetelek

7.1. Tétel (Univerzális Együttható tétel tenzor szorzatra). Adott egy nullosztómentes főideálgyűrű. Legyen _⋅ egy szabad modulusokból épült komplexus (alul indexelt, lásd az 1.2. Konvenciót) és G egy tetszőleges modulus. Minden n-re létezik egy egzakt sorozat:

( ) 0 → Hn(K ⋅) ⊗ G → Hn (K ⋅ ⊗ G ) → Tor1 Hn −1(K⋅),G → 0

amelyik funktoriálisan függ

_⋅-tól és G-től. Az egzakt sorozat felhasad. (A felhasadás nem kanonikus.)

Bizonyítás. Választunk egy kétlépéses szabad feloldást (lásd a 4.4. Tények (i) pontját):

0 → F1 → F0 → G → 0

Ha ezt tenzor-szorozzuk a

_⋅ komplexussal (lásd az 5.2. Definíciót) az alábbi kettőskomplexushoz jutunk.

|----------| |-K-⋅ ⊗-G--| | | | | | K ⋅ ⊗ F ⋅| | | | | ------------

A 3.22. Következmény szerint a

_⋅⊗ G komplexus lánc-ekvivalens a

_⋅ ⊗

_⋅ szorzat totális komplexusával. A

_⋅ ⊗

_⋅ szorzat pedig egy kétsoros kettős komplexus, alkalmazható rá a 3.26. Tétel. Mivel az

_n modulusok szabadok, a velük való szorzás felcserélhető a homológia funktorral (mert egzakt, lásd a 4.1. Definíciót). A 3.25. Definícióbeli első táblázat így néz ki:

|------------------| | H ⋅(K ⋅) ⊗ F0 | E ⋅⋅1 = |------------------| ----H-⋅(K-⋅) ⊗-F1----

Ebből látható, hogy a második táblázat így alakul:

|------------------| ⋅⋅ | H ⋅(K⋅) ⊗ G | E 2 = |------------------| --Tor1-(H-⋅(K-⋅),G-)--

(lásd a 3.25. Definíciót és az 5.4. Definíciót). Tehát a 3.26. Tételben szereplő egzakt sorozat megegyezik a bizonyítandó egzakt sorozattal, és a 3.28. Tétel miatt felhasad. □

7.2. Feladat. A 7.1. Tétel bizonyításában alsó indexeket használtunk (1.2. Konvenció) míg a 3.26. Tételben felső indexek vannak. Ellenőrizd, hogy helyesen alkalmaztuk a 3.26. Tételt! Mutasd meg, hogy a kapott egzakt sorozat valóban funktoriálisan függ _⋅-tól és G-től!

7.4. Tétel (Univerzális Együttható tétel Hom-komplexusra). Adott egy nullosztómentes főideálgyűrű. Legyen _⋅ egy szabad modulusokból épült komplexus (alul indexelt, lásd az 1.2. Konvenciót) és G egy tetszőleges modulus. Minden n-re létezik egy egzakt sorozat:

1( ) n( ⋅) ( ) 0 → Ext Hn −1(K⋅),G → H Hom (K ⋅,G ) → Hom Hn (K⋅),G → 0

(lásd a 6.1. Definíciót) amelyik funktoriálisan függ

_⋅-tól és G-től. Az egzakt sorozat felhasad. (Ez a felhasítás nem kanonikus.)

Bizonyítás. Választunk egy kétlépéses injektív feloldást (lásd a 4.4. Tények (i) pontját):

0 → G → I0 → I1 → 0

Alkalmazzuk a Hom funktort a

_⋅ komplexusra és erre a feloldásra (lásd a 6.3. Definíciót), az alábbi kettőskomplexushoz jutunk:

|--------------| | | | | | ⋅ | | Hom (K ⋅,I ) | | | |--------------| --Hom--(K-⋅,G-)--

A 3.22. Következmény szerint a Hom(

_⋅,G) komplexus lánc-ekvivalens a Hom(

_⋅,

^⋅) totális komplexusával. A Hom(

_⋅,

^⋅) pedig egy kétsoros kettős komplexus, alkalmazható rá a 3.26. Tétel. Mivel az

ⁿ modulus injektív, a Hom( ,

ⁿ) funktor felcserélhető a homológia funktorral (mert egzakt, lásd a 4.1. Definíciót). A 3.25. Definícióbeli első táblázat így néz ki:

|----------------------| | Hom (H ⋅(K ⋅),I1) | E ⋅⋅1 = |-----------⋅-----0----| ----Hom--(H--(K-⋅),I-)---|

Ebből látható, hogy a második táblázat így alakul:

|----------------------| | Hom (H ⋅(K ⋅),G ) | E ⋅⋅2 = |----------------------| ----Ext1-(H-⋅(K-⋅),G-)---|

(lásd a 3.25. Definíciót és az 5.4. Definíciót). Tehát a 3.26. Tétel egzakt sorozata megegyezik a bizonyítandó egzakt sorozattal, és a 3.28. Tétel miatt felhasad. □

7.7. Feladat. A 7.1. Tételben a Tor ₁ csoport a jobboldalon áll, míg a 7.4. Tételben az Ext ¹ csoport a baloldalon bukkan fel. Hogyan lehetséges ez — hiszen mindkét tételt a 3.22. Következmény segítségével bizonyítottuk?

7.8. Feladat. Adott egy F test. Legyen _⋅ egy F-vektortér komplexus és F ≤ G egy testbővítés. Lásd be, hogy

Hn (K⋅ ⊗ G ) ∼= Hn (K ⋅) ⊗ G n( ) ( n ) H Hom (K ⋅,G ) ∼= Hom H (K ⋅),G

7. Univerzális Együttható Tételek — algebra