Kulső szorzas — algebra

8.1. Tétel. Legyenek _⋅ és _⋅ modulus komplexusok! Ekkor minden p,q párra létezik egy természetes külső szorzás (angolul cross product):

× -------- Hp (K ⋅) ⊗ Hq (L ⋅) −→ Hp+q (K⋅ ⊗ L⋅)

Gyakran érdemes az egyazon p+q = n értékekhez tartozó külső szorzásokat együtt, az alábbi direkt összegben vizsgálni:

⊕ H (K ) ⊗ H (L )−×→ H (K--⊗-L--) p ⋅ q ⋅ n ⋅ ⋅ p+q=n

Bizonyítás. Jelölje ∂, d illetve D a három komplexus (_⋅, _⋅ és a szorzat) differenciálját! Tekintsük az alábbi részkomplexusokat:

Im (∂) ≤ Ker (∂ ) ≤ K , Im (d) ≤ Ker(d) ≤ L , ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Im (D )⋅ ≤ Ker(D )⋅ ≤ K⋅ ⊗ L⋅.

Az alábbi relációk azonnal láthatók D definíciójából (5.2. Definíció):

Ker(∂)p ⊗ Ker (d )q ≤ Ker(D )p+q,

( ) Im (∂)p ⊗ Ker(d)q + Ker (∂)p ⊗ Im (d)q ≤ Im (D)p+q.

Ezután a tétel következik az alábbai, a Q ≤ P és T ≤ S modulusokra vonatkozó azonosságból:

∕ P ⊗ S (P ⊗ T + Q ⊗ S ) ∼ (P /Q ) ⊗ (S/T ), =

(1)

ahol P ⊗ T és Q ⊗ S a részmodulusok tenzorszorzatának képét jelöli a P ⊗ S tenzorszorzatban. □

8.3. Tétel. Legyen 0 →_⋅ →_⋅ →_⋅ → 0 komplexusok egy rövid egzakt sorozata, _⋅ egy modulus komplexus. Tegyük fel, hogy _⋅ lapos modulusokból áll, így még két egzakt sorozathoz jutunk:

0 → A ⊗ K → B ⊗ K → E ⊗ K → 0 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

0 → K ⋅ ⊗ A ⋅ → K ⋅ ⊗ B ⋅ → K⋅ ⊗ E⋅ → 0

Mindhárom sorozathoz tartozik egy-egy hosszú egzakt sorozat (2.6. Tétel), jelölje δ_∗ a határ-homomorfizmusokat. Tetszőleges e ∈ H_p

_⋅

és k ∈ H_q(

_⋅) homológia-osztályokre teljesülnek a következő külső szorzat azonosságok:

δ∗(e × k) = δ∗(e) × k , δ∗(k × e) = (− 1)deg(k)k × δ∗(e)

Bizonyítás. Jelölje d, ∂ és D a _⋅, _⋅ és _⋅⊗_⋅ komplexusok differenciálját! Válasszunk az e, k elemekhez e ∈ _p és k ∈ _q reprezentánsokat! Az alábbi kommutatív diagramon a függőleges nyilak a k-val való külső szorzást reprezentálják:

---------- -----f------ ------g----- ---------- 0 A|⋅ B|⋅ E⋅ 0 |⊗k |⊗k |⊗k f˜ ˜g 0 -------A ⋅ ⊗ K⋅ -------B⋅ ⊗ K⋅ -------E⋅ ⊗ K⋅ -------0

Mivel ∂(k) = 0, azért a 2.6. Tétel szerint a δ_∗(e×k) homológia-osztályt az alábbi lánc reprezentálja:

( ) ( ) ˜−1 − 1 ˜−1 − 1 f D (˜g (e-⊗ k)) = f D (g (e) ⊗ k) =

( ) = ˜f−1 d(g−1(e)) ⊗ k + (− 1)deg(e)g−1(e) ⊗ ∂/(/k) 0 = -- -- -- / --

−1( − 1 ) = f d(g (e-)) ⊗ k,

Itt a (−1)^deg(e) előjel a szorzat komplexus differenciáljából (5.2. és 3.3. Definíciók) származik. Az utolsó sorból látható, hogy ugyanez a lánc reprezentálja a δ_∗(e) × k homológia-osztályt is. Ez bizonyítja az első azonosságot. Tekintsük most a másik oldalról való külső szorzást:

0 ----------A ⋅------------B ⋅------------ E⋅----------0 | | | k⊗ | k⊗| k⊗| ------- ------- ------- ------- 0 A ⋅ ⊗ K⋅ B⋅ ⊗ K⋅ E⋅ ⊗ K⋅ 0

Az alábbi számolásban D^∗ jelöli a

_⋅⊗

_⋅ szorzat differenciálját. Most is ∂(k) = 0, tehát a 2.6. Tétel szerint a δ_∗(k × e) homológia-osztályt az alábbi lánc reprezentálja:

( ) ( ) ˜f−1 D ∗(˜g− 1(k ⊗ e)) = f˜−1 D ∗(k ⊗ g−1(e)) = -- -- -- --

˜−1( / 0 −1 deg(k) − 1 ) = f /∂(/k) ⊗ g (e) + (− 1) k-⊗ d(g (e)) =

deg(k) −1( − 1 ) = (− 1) k-⊗ f d(g (e))

Itt a (−1)^deg(k) = (−1)^deg(k) előjel a szorzat komplexus differenciáljából (5.2. és 3.3. Definíciók) származik. Az utolsó sorból látható, hogy a (−1)^deg(k)k × δ_∗(e) homológia-osztályt is ugyanez a lánc reprezentálja. Ez bizonyítja a második azonosságot. □

8.4. Feladat. A 8.1. Tétel segítségével építs ilyen külső szorzatot is:

p( ) q( ) × p+q(-----------------------) H Hom (K⋅,M ) ⊗H Hom (L⋅,N ) −→ H Hom (K ⋅ ⊗ L ⋅,M ⊗ N )

Megint összegezhetjük az egyazon p+q = n értékhez tartozó szorzásokat:

⊕ ( ) ( ) × (----------------------) Hp Hom (K ⋅,M ) ⊗Hq Hom (L ⋅,N ) − → Hn Hom (K ⋅ ⊗ L ⋅,M ⊗ N ) p+q=n

Ötlet: Lineáris függvények szorzata bi-lineáris, ez ad egy (modulusokra vonatkozó) funktoriális homomorfizmust:

Hom (X, M ) ⊗ Hom (Y, N ) → Hom (X ⊗ Y,M ⊗ N )

□

8.5. Feladat. Az előzőek mintájára építs ilyen külső szorzatot is (alsó, és felső indexekkel):

( ) ( ) (-----------------) Hp Hom (K ⋅,M ) ⊗ Hq L ⋅ − ×→ Hp+q Hom (K ⋅,L ⋅ ⊗ M )

Megint összegezhetjük az egyazon p+q = n értékhez tartozó szorzásokat:

⊕ ( ) ( ) ( -----------------) Hp Hom (K ,M ) ⊗ Hq L⋅ −×→ Hn Hom (K ,L ⋅ ⊗ M ) ⋅ ⋅ p+q=n

8.6. Tétel. Legyen 0 →_⋅ →_⋅ →_⋅ → 0 komplexusok egy rövid egzakt sorozata, _⋅ egy modulus komplexus. Legyenek továbbá M és N tetszőleges modulusok. Tegyük fel, hogy _⋅ és _⋅ projektív modulusokból áll, így még három egzakt sorozathoz jutunk: