Cech kohomologia

19.2. Konstrukció. Legyen X egy topológikus tér, és = {U_i}_i∈I nyílt halmazok egy rendszere. Az idege a következő, X,-vel jelölt szimplíciális komplexus: Minden (n + 1)-elemű J ⊆ I részhalmazhoz, amelyre ⋂ _i∈JU_i≠∅ tartozik egy Δ_J-vel jelölt n-szimplex, melynek csúcsait megcímkézzük J elemeivel. Ezért n ≥ 1 esetén a Δ_J minden oldalán egy n-elemű J′ ⊂ J részhalmazt olvashatunk: ezt az oldalt a Δ_J′ szimplexhez ragasztjuk, mégpedig úgy, hogy az azonosan címkézett csúcsok illeszkedjenek egymáshoz.

19.3. Definíció. Legyen X egy topológikus tér, és egy jó fedése. A fedéshez tartozó G együtthatójú Čech komplexus:

ˇ⋅( ) ( Szimpl( ) ) C X, U ;G = Hom Δ ⋅ N (X, U ) ,G

Ennek homológiáit Čech kohomológiának hívjuk:

( ( )) Hˇn (X; G ) = Hn Cˇ⋅ X, U;G

Vegyük észre, hogy ez nem más, mint az

(X,

) tér G együtthatójú szimplíciális kohomológiája.

19.5. Tétel. Legyen X egy topológikus tér, amelynek létezik jó fedése. A Čech kohomológia nem függ a jó fedéstől (tehát a jelölés korrekt). Bármely G együttható csoportra, és minden fedésre a Č^⋅X,; G Čech komplexus lánc-ekvivalens a Hom Δ ⋅(X),G kolánc komplexussal, tehát minden n-re

ˇ n ∼ n H (X; G )= H (X; G ).

A lánc-ekvivalencia, és így az izomorfizmus is természetes transzformáció (mind a két változóban).

Először adunk egy algebrai bizonyítást, utána egy geometriait. A geometriai bizonyítás hosszabb, de elemibb.

Algebrai bizonyítás. Elég az izomorfizmust belátni, abból már következik a függetlenség is. Idézzük fel a 16.7. Lemmában szereplő S(X) ⊆ S(X) rész-komplexust! Ehhez tartozik egy Δ ⋅(X) ≤ Δ⋅(X) részkomplexust, melyet a S(X)-beli szimplexek generálnak. A 16.7. Lemma miatt Δ⋅(X)Δ ⋅(X) lánc-ekvivalensek. A 19.5. Tétel tehát azonnal következik az alábbi lánc-ekvivalenciából:

ˇ⋅( ) ∼ ( U ) C X, U;G = Hom Δ ⋅ (X ),G

Abban az esetben, ha

egyetlen nyílt halmazból áll, ez következik a 17.3. Tétel (d) pontjából. Az általános eset pedig azonnal következik a 3.24. Következményből, csak a megfelelő kettős komplexust kell kitölteni — amit az olvasóra bízunk! □

Ötlet: Minden (p + 1)-elemű J ⊆ I részhalmazhoz készítsd el a

( (⋂ ) ) Hom Δq j∈JUj ,G

csoportot. Ezek direkt szorzata (rögzített p,q értékre) legyen a 3.24. Következményben keresett M^p,q csoport! Lásd be a sorok és az oszlopok egzaktságát! Az egzaktság bizonyításában felhasználhatod, hogy a tétel igaz abban az esetben, amikor

egyelemű. □

19.7. Konstrukció. Legyen X egy topológikus tér, és = {U_i}_i∈I egy jó fedése. Jelölje ^∗X, az X, komplexus súlyponti felosztását. Tetszőleges J₀ ⊂ J₁ ⊂ ⋅⋅⋅ ⊂ J_n ⊆ I véges részhalmaz-sorozatra jelölje

∗ ∗( ) Δ J0,J1,...Jn ⊂ N X, U

azt a szimplexet, amit az

-beli Δ_J₀ ⊂ Δ_J₁ ⊂ Δ_J₂ ⋅⋅⋅

⊂ Δ_{J_n} egymásba ágyazott szimplexek súlypontjai feszítenek ki. Dimenzió szerinti indukcióval építünk egy

( ) ∼ ∗( ) ev-: N X, U = N X, U − → X

folyonos leképezést az alábbi tulajdonsággal:

( ) ⋂n ( ) ev- Δ ∗J0,J1,...Jn ⊆ UJj N ∗ X, U minden szimplex ére. j=0

(4)

Tegyük fel, hogy a Δ_{J₀,J₁,…J_n}^∗ szimplex peremén már elkészült az ev függvény, és ott teljesíti a (4) követelményt. Mivel a ⋂ _j=0ⁿU_{J_j} nyílt halmaz pontrahúzható, a függvénytkönnyű beterjeszteni a szimplex belsejébe is.

19.9. Lemma. Legyen X egy topológikus tér, és = {U_i}_i∈I egy jó fedése. Legyen továbbá Y egy véges szimplíciális komplexus és f : Y → X egy folytonos függvény.

(a): Ekkor létezik egy ϕ : Y →(X,) folytonos leképezés, melyre az ev ∘ϕ kompozíció homotóp f-fel.
(b): Tegyük fel, hogy A ≤ Y egy rész-komplexus, ϕ_A : A → (X,) egy olyan szimplíciális leképezés, melyre az ev ∘ϕ_A kompozíció megegyezik az f függvény A-ra való megszorításával. Ilyenkor van olyan ϕ is, amelyik az A halmazon megegyezik ϕ_A-val.

Bizonyítás. Elég a (b) állítást bizonyítani, az (a) ennek speciális esete (üres A-val). A feltétel miatt f az A minden szimplexét beleképezi valamelyik -beli nyílt halmazba. A Lebesgue Lemma segítségével az A komplementerében lévő szimplexeket is felbontjuk kisebb szimplexekre úgy, hogy f az új szimplexek mindegyikét beleképezze valamelyik -beli nyílt halmazba. Jelölje Ỹ az Y teret ezzel az új szimplex felbontással, Ỹ^∗ pedig az Ỹ súlyponti felosztását. Mivel f(Ỹ^∗) kompakt, van olyan Ĩ ⊂ I véges részhalmaz, melyre {U_i}_i∈Ĩ lefedi f(Ỹ^∗)-ot. Először definiáljuk a ϕ függvényt az Ỹ^∗ csúcsain.

Legyen P az Ỹ^∗ tetszőleges csúcsa, tehát egy σ ⊆ Y szimplex súlypontja. Jelölje J_σ ⊆ Ĩ azon j ∈ Ĩ indexek halmazát, melyekre f(σ_σ) ⊆ U_j. Legyen ϕ(P) a Δ_{J_σ} ⊆(X,) szimplex súlypontja, ami az ^∗(X,) komplexus egyik csúcsa.

Legyen most δ az Ỹ^∗ tetszőleges n-szimplexe. Enne csúcsai bizonyos σ₀ ⊂ σ₁ ⊂ ⋅⋅⋅ ⊂ σ_n Ỹ-beli szimplexek súlypontjai. A ϕ függvény a δ csúcsait éppen a Δ_{J_σ₀,J_σ₁,…J_{σ_n}} ^∗(X,)-beli szimplex csúcsaiba viszi, kiterjesztjük lineárisan az egész δ szimplexre. Ezt minden szimplexre elvégezve megkapjuk a keresett ϕ függvényt. □

19.10. Feladat. Lásd be, hogy a 19.9. Lemma bizonyításában a ϕ függvény jól definiált! ha δ₁,δ₂ két szimplex Ỹ-ban, akkor a δ₁-re való kiterjesztés a δ₁ ∩δ₂ szimplexen megegyezik a δ₂-re való kiterjesztéssel.

19. Čech kohomológia