DeRham kohomologia

20.1. Definíció. Legyen M egy differenciálható sokaság. T^∗M jelöli az érintő nyaláb duálisát — ezt ko-érintő nyalábnak is nevezik, ennek szelései az 1-formák. ∧ ^kT^∗M jelöli a ko-érintő nyaláb k-adik külső hatványát — ennek szelései a k-formák. Jelölje Ω^k(M) az egész M-en értelmezett k-formák terét! A külső deriválás minden k-ra egy d : ∧ ^kT^M → ∧^k+1T^∗M differenciál operátor, tehát egy d : Ω^k(M) → Ω^k+1(M) lineáris leképezés ami kielégíti a Leibnitz-szabályt. Érdemes megemlíteni, hogy d² = 0, és hogy Ω⁰(M) nem más, mint az M-en értelmezett sima függvények tere.

20.2. Definíció. Legyenek M, N differenciálható sokaságok, és f : M → N egy sima függvény! Jelölje f^∗TN az N érintő-nyalábjának visszahúzottját! Az f deriváltja felfogható egy df : TM → f^∗TN nyaláb-leképezésnek, azaz a Hom TM,f^∗TN nyaláb egy szelésének. (Lokális koordinátarendszerben ez egy mátrix-értékű függvény: az f Jacobi-mátrixa.) Ennek a duálisa indukál f^∗ : Ω^k(N) → Ω^k(M) homomorfizmusokat minden k-ra. (Tehát a differenciál-formákat „vissza lehet húzni”.)

20.3. Definíció. Legyen M egy differenciálható sokaság. Az alábbi komplexust de Rham komplexusnak nevezzük:

0 d 1 d 2 d 0 → Ω (M ) −→ Ω (M ) −→ Ω (M )− → ...

Ez valóban komplexus, hiszen d² = 0. Az ő k-adik homológiája az M k-adik de Rham kohomológiája (ez egy valós vektortér), jelölésben: H_dR^k(M). Bővebb információt itt találsz.

Ötlet. Lásd be, hogy a differenciál-formák visszahúzása kommutál a d operátorral! □

20.5. Feladat. Legyen M egy sokaság, jelölje Δ⋅^diff(M) ≤ Δ ⋅(M) azt a rész-komplexust, amit a folytonosan differenciálható szinguláris szimplexek generálnak! Lásd be, hogy a Δ⋅^diff(M) ≤ Δ ⋅(M) beágyazás lánc-ekvivalencia!

Ötlet: Imitáld a 16.7. Lemmát, és a bizonyítását. Ehhez szükséged lehet a 13.6. Tételre. □

20.6. Feladat. Legyen M egy sokaság, ω egy n-forma. Minden σ folytonosan differenciálható szinguláris n-szimplexhez rendeljük hozzá az ∫ _σω valós számot. Ezt lineárisan kiterjesztjük egy ⁿ : Ωⁿ(M) → Hom Δn^diff(M), ℝ homomorfizmussá. Stokes tétele segítségével lásd be, hogy ezek összeállnak egy

⋅ ( diff ) I : Ω (M ) → Hom Δ ⋅ (M ),ℝ

lánc-homomorfizmussá, sőt,

egy természetes transzformáció az Ω^⋅ és a Hom

Δ⋅^diff, ℝ

funktorok között!

20.7. Tétel (Homotóp invariancia). Legyenek M, N differenciálható sokaságok, f,g : M → N egymással homotóp sima leképezések. A hozzájuk tartozó két visszahúzás, f_∗,g_∗ : Ω^⋅(N) → Ω^⋅(M), homotóp ekvivalens.

Bizonyítás. Egy bizonyítást itt olvashatsz. □

20.8. Következmény (Poincaré lemma). Legyen M egy pontrahúzható sokaság, és ϕ ∈ Ω^k(M), 1 ≤ k ≤ dim(M), egy olyan k-forma, amelyre dω = 0 (azaz ω zárt forma). Ekkor van olyan ψ ∈ Ω^k−1(M), amelyre dψ = ϕ (azaz ϕ egzakt forma). Ebből azonnal következik, hogy az Ω^⋅(M) de Rham komplexus pontrahúzható (2.17. Következmény).

Bizonyítás. Következik a 20.7. Tételből. □

20.9. Feladat (Poincaré lemma változata). Legyen M megint egy pontrahúzható sokaság, és jelölje ℝ_M ⊆ Ω⁰(M) az M → ℝ konstans függvények halmazát. Mutasd meg, hogy az alábbi sorozat egzakt:

0 d 1 d 2 d 0 → ℝM → Ω (M ) → Ω (M ) → Ω (M ) → ⋅⋅⋅

Bizonyítás. Legyen az M sokaság egy szimplex-felbontása (ilyen van Whitney tétele miatt), jelöljük _k-val a -beli k-szimplexek halmazát! Vegyük észre, hogy a szimplex-felbontásunk lokálisan véges, azaz minden pontnak van olyan környezete amelyet csak véges sok szimplex metsz! Ha a differenciál-formákat csak a -beli szimplexeken integráljuk, akkor az leképezés mintájára egy : Ω^⋅(M) → Hom Δ⋅^szimpl( ), ℝ lánc-leképezést. A 20.5. Feladat miatt elég belátnunk, hogy lánc-homotóp-ekvivalencia. Ezért konstruálunk egy ^⋅ : Hom Δ ⋅^szimpl( ), ℝ → Ω^⋅(M) homotópia inverzet.

Rögzítünk egy k ≥ 0 egészet! Minden σ ∈ _k szimplexhez választunk egy U_σ ⊆ M nyílt halmazt úgy, hogy mindegyik σ ∈_k metszi U_σ-t, és az U_σ halmazok páronként diszjunktak. Minden σ ∈ _k-ra választunk olyan ψ_σ ∈ Ω^k(M) differenciál-formát, amelyik nulla az U_σ halmazon kívül, és ∫ _σψ_σ = 1. Ezután minden f : Δk(M) → ℝ koláncra legyen

k ∑ J (f) = f (σ ) ⋅ ψ σ. σ∈Tk

Világos, hogy

^k(f)

= f. Az is igaz, hogy

^⋅ ∘

homotóp az identitáshoz (az Ω^⋅(M) komplexuson), de azt most nem bizonyítjuk. □

Bizonyítás. A azonnal következik a 3.24. Következményből, csak a megfelelő kettős komplexust kell kitölteni — amit az olvasóra bízunk! □

Ötlet: Minden (p + 1)-elemű J ⊆ I részhalmazhoz készítsd el a

Ωq (⋂ U ) j∈J j

csoportot. Ezek direkt szorzata legyen a 3.24. Következményben keresett M^p,q csoport! A q irányban a differenciál legyen a differenciál formák d operátora. A p iránban pedig imitáld a Čech komplexus differenciálját! Minden q irányú oszlop DeRham komplexusok direkt szorzata, az egzaktság a Poincaré lemmából következik. Tekints egy p irányú sort, egység-osztás segítségével lásd be, hogy pontrahúzható (2.17. Következmény). Ebből következik a p irányú egzaktság. □

20. DeRham kohomológia