Direkt szorzat es a Δ⋅ funktor

22.1. Tétel (Eilenberg-Zilber). Legyenek X,Y tópologikus terek. Létezik egy

Δ (X × Y ) ∼= Δ (X ) ⊗ Δ (Y ) ⋅ ⋅ ⋅

lánc-ekvivalencia, amelyk kanonikusan függ X-től és Y -tól.

Bizonyítás. Ha A és B CW-komplexusok, akkor

CW ∼ CW CW Δ ⋅ (A ×CW B )= Δ ⋅ (A) ⊗ Δ ⋅ (B )

(5)

kanonikusan izomorf (14.2. Definíció). Ezt az azonosságot az A = S(X) és a B = S(Y ) CW-komplexusokra akarjuk alkalmazni. X gyengén homotóp ekvivalens az S(X) CW-komplexussal (lásd a 16.5. Tételt), Y gyengén homotóp ekvivalens S(Y )-nal, ezért aztán X × Y gyengén homotóp ekvivalens az S(X) × S(Y ) szorzattal, ami viszont gyengén homotóp ekvivalens az S(X) ×_CWS(Y ) CW-szorzattal (14.6. Feladat). Ezért a tétel következik az (5) azonosságból. □

22.2. Következmény. Legyenek (X,A) és (Y,B) olyan tér-párok (11.1. Definíció), melyekre {X × B,A × Y } jól vág (21.2. Definíció). Ekkor van egy természetes lánc-ekvivalencia:

( ( )) Δ ⋅ X × Y, A × Y ∪ X × B ∼= Δ ⋅(X, A ) ⊗ Δ ⋅(Y,B )

Ötlet: Használjuk a 22.1. Tételt és a következő, modulusokra vonatkozó azonosságot:

∕ (M ∕N ) ⊗ (P∕Q ) ∼ (M ⊗ N ) (M ⊗ Q + N ⊗ P ) =

(6)

□

22.3. Feladat. Igazold a (6) azonosságot!

22.4. Megjegyzés. Érdekes az analógia van a szabad algebrák és az alábbi tétel között. Adott algebrai struktúrák egy osztálya és egy X halmaz. Az X által generált szabad algebra egy olyan F_X ∈ algebra, amely tartalmazza X-et, és tetszőleges A ∈ algebrába képező tetszőleges X → A függvény egyértelműen kiterjeszthető egy F_x → A homomorfizmussá. Az X halmazt hívjuk az F_X szabad generátor rendszerének. Az F_X szabad algebra, ha létezik, izomorfizmus erejéig egyértelmű, csak az X számosságától függ (meg persze -tól). Szép osztály esetén (pl. ha -t azonosságokkal definiáljuk) a létezése is könnyen bizonyítható.

Tekintsük a „pozitív dimenzióban aciklikus” funktorok világát. Az alábbi tételünk arról szól, hogy Δ⋅ „szabad funktor”-ként működik ebben a világban, H₀(Δ⋅) játssza a „szabad generátor rendszer” szerepét. A bizonyítás még hangsúlyosabbá teszi az analógiát: az aciklikusságot „azonosság”-ként értelmezzük.

22.5. Tétel (Eilenberg, aciklikus modellek módszere). Legyen _⋅ egy funktor, ami topológikus terekhez komplexusokat rendel (és folytonos függvényekhez lánc-homomorfizmusokat). Tegyük fel, hogy

( ) Hn G⋅(Δm ) = 0 ha n ≥ 1 és m ≥ 0,

ahok Δm jelöli az m-dimenziós szimplexet (16.1. Definíció). Ekkor

(a): Minden t : H₀(X; ℤ) → H₀_⋅(X) természetes transzformáció egy (X-től függő) természetes τ_⋅ : Δ⋅ → _⋅ lánc-homomorfizmusból származik: t = H₀(τ_⋅).
(b): A fenti τ_⋅ nem feltétlenül egyértelmű. Ha _⋅ : Δ⋅ → _⋅ egy másik természetes lánc-homomorfizmus amire H₀(τ_⋅) = H₀( _⋅), akkor τ_⋅ és _⋅ lánc-homotópok egy D_⋅ (X-től függő) természetes lánc-homotópiával.

22.6. Feladat. Lásd be, hogy H₀Δ⋅(X) kanonikusan izomorf az X összefüggő komponenzei által szabadon generált szabad Abel csoporttal. Konstruálj ez alapján egy H₀(Δ⋅) → H₀(Δ⋅) ⊗ H₀(Δ⋅) természetes transzformációt!

22.7. Következmény. Létezik egy olyan Δ⋅ τ⋅
−→ Δ⋅⊗Δ⋅ természetes transzformáció, amire H₀(τ_⋅) éppen a 22.6. Feladat természetes transzformációja, és bármely két ilyen transzformációt összeköt egy természetes lánc-homotópia.

22.8. Konstrukció. Az alábbi diagramon δ jelöli az X → X × X átló-leképezést, EZ pedig az Eilenberg-Zilber tételben (22.1. Tétel) szereplő lánc-ekvivalenciát, τ_⋅ pedig a két másik lánc-homomorfizmus kompozíciója:

τ --------------⋅-------------- ----Δ (δ) --- Δ ⋅(X ) -----⋅----Δ ⋅(X × X ) ----EZ----Δ ⋅(X ) ⊗ Δ ⋅(X )

Ez a τ_⋅ nyilván kielégíti a 22.7. Következmény feltételeit. Sajnos az EZ leképezés definíciója nem konstruktív, invertálni kell hozzá néhány lánc-ekvivalenciát. Íme, egy másik, teljesen explicit konstrukció, az Alexander-Whitney lánc-homomorfizmus:

⊕ ∑ τn : Δn → Δp ⊗ Δq, σ → pσ ⊗ σq, p+q=n p+q=n

ahol σ egy szinguláris n-szimplex, _pσ illetve σ_q jelöli a σ szimplex első p+1, illetve utolsó q+1 csúcsa által kifeszített lapot. Tehát dim

_pσ

= p, dim

σ_q

= q, és a két lapnak egyetlen közös csúcsa van: a (p + 1)-edik. A két konstrukció természetesen különböző τ_⋅ lánc-homomorfizmusokat ad, de a 22.7. Következmény miatt ezek lánc-homotópok.

22.9. Feladat. Tekintsük a 22.8. Konstrukciót.

(a): Lásd be, hogy az Alexander-Whitney lánc-homomorfizmus valóban lánc-homomorfizmus!
(b): Lásd be, hogy mindkét τ_⋅ transzformáció kielégíti a 22.7. Következmény feltételeit! (Tehát lásd be, hogy természetes transzformációk, és lásd be, hogy H₀(τ_⋅) éppen a 22.6. Feladatbeli homomorfiznus!)
(c): Ebből persze következik, hogy a két konstrukció egymással lánc-ekvivalens τ_⋅ lánc-homomorfizmusokat ad.

22.10. Tétel. Legyn τ_⋅ a 22.7. Következménybeli lánc-homomorfizmus!

(a): Jelölje σ_⋅ : Δ⋅(X)⊗Δ⋅(X)Δ⋅(X)⊗Δ⋅(X) az x⊗y → y⊗x szimmetriát. Az alábbi kompozíció lánc-homotóp τ_⋅-val: $Δ (X ) −τ→⋅ Δ (X ) ⊗ Δ (X )−σ→⋅ Δ (X ) ⊗ Δ (X ) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅$
(b): Jelolje ψ tenzor szorzat asszociativitás-izomorfizmusát. Tekintsük az alábbi diagramot: $idΔ⋅(X)⊗τ⋅ Δ ⋅(X ) ⊗ Δ ⋅(X ) ⊗ Δ ⋅(X ) Δ ⋅(X )--τ⋅- Δ ⋅(X ) ⊗ Δ ⋅(X ) ψ τ⋅⊗idΔ ⋅(X) Δ ⋅(X ) ⊗ Δ ⋅(X ) ⊗ Δ ⋅(X )$ A következő két kompozíció lánc-homotóp: $( ) ( ) ψ ∘ idΔ⋅(X)⊗ τ⋅ ∘ τ⋅ ∼ τ⋅ ⊗ idΔ⋅(X ) ∘ τ⋅$

22.11. Feladat. Tekintsük az olyan (X,A,B) hármasok kategóriáját, amelyekben X topológikus tér, A,B ⊆ X, és {A,B} jól vágnak.

(a): Lásd be a 22.5. Tétel analógját az (X,A,B) → Δ⋅(X,A ∪ B) funktorra!
(b): Ez alapján mutasd meg a 22.7. Következmény általánosítását: hogy van egy lánc-homotópia erejéig egyértelmű természetes transzformáció: $Δ (X, A ∪ B ) → Δ (X, A) ⊗ Δ (X, B ) ⋅ ⋅ ⋅$

22. Direkt szorzat és a Δ⋅ funktor