[next] [prev] [prev-tail] [tail] [up]

10. Általános Künneth tételek — algebra

Az előző fejezetben olyan szituációkat kerestünk, amikor pontosan ki tudjuk számolni bizonyos komplexusok tenzor szorzatának a homológiáit. Most ennél sokkal általánosabb tenzor szorzatok homológiáit vizsgáljuk. Az általánosságnak ára van: pontos formulák helyett csak egzakt sorozatokat kapunk.

10.1. Lemma. Legyen F⋅ egy szabad Abel csoportokból épült komplexus, d jelölia differenciálját. Tekintsük az Im(d)⋅ ≤ Ker(d)⋅ ≤ F⋅ rész-komplexusokat: ezek szabad Abelcsoportokból állnak, és a differenciáljuk nulla. Konstruálható egy

0 −→ Im (d)⋅ −→ Ker (d)⋅ ⊕ L ⋅ −→ F ⋅ −→ 0
rövid egzakt sorozat, ahol L⋅ egy (szabad Abel csoportokból álló) pontrahúzható komplexus.

Bizonyítás. Mivel d2 = 0, azért Im(d)⋅ ≤ Ker(d)⋅. A 4.4. Tények (h) pontja miatt Im(d)⋅ és Ker(d)⋅ szabad modulusokból áll, és a definícióból azonnal következik, hogy a differenciáljuk (tehát d megszorítása) nulla. Tekintsük a d : F⋅ → Im(d)⋅+1 lánc-homomorfizmust. Elkészítjük hozzá a 3.10. Definícióbeli egzakt sorozatot. Állítjuk, hogy ez kielégíti a lemma követelményeit.

Valóban, a sorozatban szereplő leképezés-kúp szemmel látjatóan szabad Abel csoportokból épült, és a 3.18. Feladat miatt homotóp ekvivalens Ker(d)⋅-vel. Ezért a homológiái is szabad modulusok, a 9.3. Lemma megadja a keresett direkt összeg felbontást. □

10.2. Tétel. Legyenek E⋅ és F⋅ Abel csoport komplexusok. (Alsó indexeket használunk, lásd az 1.2. Konvenciót.) Tegyük fel, hogy En szabad minden n-re. Ekkor létezik egy funktoriális egzakt sorozat:

⊕ ( ------⋅) ⊕ ( ) 0 → Hp (E⋅)⊗Hq (F⋅) → Hn E⋅ ⊗ F ⋅ → Tor1 Hp (E⋅),Hq(F ⋅) → 0 p+q=n p+q=n−1
Ez a sorozat felhasad (nem kanonikusan), és ad egy (szintén nem kanonikus) izomorfizmust:
(-------⋅) ⊕ ( ) Hn E ⋅ ⊗ F ⋅ = Hp E⋅ ⊗ Hq (F ⋅) p+q=n

Bizonyítás. Jelölje d az E⋅ komplexus differenciálját. A 10.1. Lemma ad egy

0 −→ Im (d)⋅ −→ Ker (d)⋅ ⊕ L ⋅ −→ E⋅ −→ 0
egzakt sorozatot. Alkalmazzuk rá a    ⊗F⋅ funktort, így kajuk az alábbi háromsoros diagramot:
|---------------------------| |----------E⋅ ⊗-F-⋅---------| | (Ker(d )⋅ ⊕ L⋅) ⊗ F⋅ | | | ---------Im-(d)⋅ ⊗-F⋅---------
Úgy indexelünk, hogy az elválasztó vonal alatt van a nulladik sor, fölötte pedig az első. Ez valójában egy „hármas komplexus”, de most kettős komplexusként kezeljük: a sorokba a megfelelő totális komplexust írjuk. A 3.22. Következmény szerint a felső sor lánc-ekvivalens az alsó két sor totális komplexusával. Erre a kétsoros kettős komplexusra alkalmazzuk a 3.26. Tételt. Be fogjuk látni, hogy a kapott egzakt sorozat megegyezik az általunk keresett sorozattal. A felhasadás tehát a 3.28. Tételből következik.

Mivel L⋅ pontrahúzható, azért az L⋅⊗F⋅ szorzat is az (5.3. Feladat). Az E1⋅⋅ táblázatban a sorok homológiáját kell írni, tehát a L ⋅⊗F⋅ tagot bátran elhagyhatjuk az első sorból. A megmaradó kettős komplexusban a vízszintes irányú differenciálok nullák (10.1. Lemma: Im(d)⋅ és Ker(d)⋅ differenciálja nulla), tehát az alábbi direkt összegre bomlik:

|------------------| |------------------| | Ker (d)⋅ ⊗ F ⋅ | ⊕ | Ker(d )p ⊗ F ⋅−p | | = | | ----Im-(d)⋅ ⊗-F⋅----- p --Im-(d)p ⊗-F⋅−p----
A Ker(d)p és az Im(d)p szorzók szabad modulusok, a velük való szorzás egzakt funktor, tehát az E1⋅⋅ táblázat így alakul:
|-------------------------| |--------------------------| ⋅⋅ ⊕ | H ⋅(Ker (d )p ⊗ F ⋅− p) | ⊕ | Ker (d)p ⊗ H ⋅−p(F⋅) | E 1 = | |= | | p ----H-⋅(Im-(d)p ⊗-F⋅−p)----- p -----Im-(d)p-⊗-H-⋅−p(F-⋅)-----
Másrészt a 0 → Im(d)p → Ker(d)p → Hp(E⋅) → 0 egzakt sorozat éppen a Hp(E⋅) szabad feloldása. Az ebben szereplő Im(d)p → Ker(d)p homomorfizmust Hq(Fp)-vel szorozva éppen az E1⋅⋅ táblázat p-edik összeadandójának egy oszlopát kapjuk. Éppen ez a komplexus szerepel a Tor funktor definíciójában (5.4. Definíció), tehát az E2⋅⋅ táblázat így alakul:
|-------------------------| ⊕ | H (E ) ⊗ H (F ) | E ⋅⋅2 = | p ⋅ ⋅−p ⋅ | p --Tor1-(Hp-(E⋅),H-⋅−p(F-⋅))---
A 3.26. Tételből tehát valóban a keresett egzakt sorozatot kapjuk, és az valóban felhasad. Ebből következik az alábbi (nem kanonikus) izomorfizmus:
( ) ( ) (-------⋅) ⊕ ⊕ ( ) Hn E⋅ ⊗ F⋅ ∼= Hp (E⋅) ⊗ Hq (F⋅) ⊕ Tor1 Hp (E ⋅),Hq (F⋅) p+q=n p+q=n− 1
Számítsuk ki a Hp(E⋅⊗Hq(F⋅)) csoportot az Univerzális Együttható tétel (7.1. Tétel) segítségével:
( ) ( ) ( ) Hp E⋅ ⊗ Hq(F ⋅) ∼= Hp (E⋅) ⊗ Hq (F⋅) ⊕ Tor1 Hp −1(E⋅),Hq (F ⋅)
Ezt összegezve az olyan p,q párokra, amelyek összege n, éppen a fenti izomorfizmus jobb oldalát kapjuk. Ez bizonyítja a 10.2. Tétel utolsó egyenletét. □

10.3. Feladat. A 10.2. Tétel bizonyításában alsó indexekkel dolgoztunk, míg a felhasznált korábbi lemmákban, tételekben felső indexek szerepelnek. Ellenőrizd, hogy helyesen alkalmaztuk-e őket (azaz jól hoztuk-e alulra az indexeket)!

10.4. Tétel. Legyenek E⋅ és F⋅ Abel csoport komplexusok. (Alsó és felső indexeket is használunk, lásd az 1.2. Konvenciót.) Tegyük fel, hogy En szabad minden n-re. Ekkor létezik egy funktoriális egzakt sorozat:

( ) ⊕ 1 q ⋅ 0 → Ext Hp (E⋅),H (F ) → p+q=n− 1

n(------------⋅) ⊕ ( q ⋅ ) → H Hom (E⋅,F⋅) → Hom Hp (E⋅),H (F ) → 0 p+q=n
Ez a sorozat felhasad (nem kanonikusan), és ad egy (szintén nem kanonikus) izomorfizmust:
(------------⋅) ⊕ ( ) Hn Hom (E⋅,F ⋅) = Hp Hom (E⋅,Hq (F ⋅)) p+q=n

Bizonyítás. Jelölje d az E⋅ komplexus differenciálját. A 10.1. Lemma ad egy

0 −→ Im (d)⋅ −→ Ker (d)⋅ ⊕ L ⋅ −→ E⋅ −→ 0
egzakt sorozatot. Alkalmazzuk rá a Hom( ,F⋅) funktort (ez megfordítja a sorrendet, és fölül-indexelt komplexust ad, lásd a 6.3. Definíció), így kapjuk az alábbi háromsoros diagramot:
|---------------------------| | Hom (Im (d)⋅,F ⋅) | | ⋅ | |--Hom--(Ker-(d)⋅ ⊕-L-⋅,F-)--| | Hom (E⋅,F ⋅) | -----------------------------
Most úgy indexelünk, hogy az elválasztó vonal fölött van a nulladik sor, alatta pedig a (−1)-edik! Ez valójában egy „hármas komplexus”, de most kettős komplexusként kezeljük: a sorokba a megfelelő totális komplexust írjuk. A 3.22. Következmény szerint az alsó sor lánc-ekvivalens az fölső két sor totális komplexusával. Erre a kétsoros kettős komplexusra alkalmazzuk a 3.26. Tételt. Be fogjuk látni, hogy a kapott egzakt sorozat megegyezik az általunk keresett sorozattal. A felhasadás tehát a 3.28. Tételből következik.

Mivel L⋅ pontrahúzható, azért a Hom (L⋅,F⋅) komplexus is az (6.4. Feladat). Az E1⋅⋅ táblázatban a sorok homológiáját kell írni, tehát a Hom (L⋅,F⋅) tagot bátran elhagyhatjuk az első sorból. A megmaradó kettős komplexusban a vízszintes irányú differenciálok nullák (10.1. Lemma: Im(d)⋅ és Ker(d)⋅ differenciálja nulla), tehát az alábbi direkt összegre bomlik:

|------------------------| |---------------------------| | Hom (Im (d)⋅,F⋅) | ⊕ | Hom ( Im (d)p,F ⋅− p) | | Hom (Ker (d )⋅,F ⋅) = | Hom (Ker (d)p,F ⋅−p) | ------------------------- p -----------------------------
Most Ker(d)p és Im(d)p szabad modulusok, a velük való Hom-ozás egzakt funktor, tehát az E1⋅⋅ táblázat így alakul:
|-----------------------------| |-----------------------------| ⊕ | H ⋅( Hom (Im (d ),F ⋅−p)) | ⊕ | Hom ( Im (d) ,H ⋅−p(F ⋅)) | E ⋅⋅1 = | p |= | p | p --H-⋅(Hom--(Ker-(d)p,F-⋅−p))---- p ---Hom--(Ker-(d)p,H-⋅−p(F-⋅))----
Másrészt a 0 → Im(d)p → Ker(d)p → Hp(E⋅) → 0 egzakt sorozat éppen a Hp(E⋅) szabad feloldása. Az ebben szereplő Im(d)p → Ker(d)p homomorfizmusra alkalmazzuk a Hom ( ,Hq(Fp)) funktort — így éppen az E1⋅⋅ táblázat p-edik összeadandójának egy oszlopát kapjuk. Éppen ez a komplexus szerepel az Ext funktor definíciójában (6.5. Definíció), tehát az E2⋅⋅ táblázat így alakul:
|-----------------------------| ⋅⋅ ⊕ | Ext1 (Hp (E⋅),H ⋅−p(F ⋅)) | E 2 = | Hom (Hp (E⋅),H ⋅−p(F ⋅)) | p -------------------------------
A 3.26. Tételből tehát valóban a keresett egzakt sorozatot kapjuk, és az valóban felhasad. Ebből következik az alábbi (nem funktoriális) izomorfizmus:
( ) ( ⊕ ( ) ) ( ⊕ ( )) Hn Hom--(E-,F-⋅)⋅ ∼= Hom H (E),Hq (F ⋅) ⊕ Ext1 H (E ),Hq (F ⋅) ⋅ p ⋅ p ⋅ p+q=n p+q=n−1
Számítsuk ki a Hp( Hom (E⋅,Hq(F⋅))) csoportot az Univerzális Együttható tétel (7.1. Tétel) segítségével:
( ) ( ) ( ) Hp Hom (E ⋅,Hq (F ⋅)) ∼= Hom Hp (E⋅),Hq (F ⋅) ⊕Ext1 Hp− 1(E ⋅),Hq (F ⋅))
Ezt összegezve az olyan p,q párokra, amelyek összege n, éppen a fenti izomorfizmus jobb oldalát kapjuk. Ez bizonyítja a 10.4. Tétel utolsó egyenletét. □

10.5. Feladat. A 10.4. Tétel bizonyításában részben alsó indexekkel is dolgoztunk, míg a felhasznált korábbi lemmákban, tételekben felső indexek szerepelnek. Ellenőrizd, hogy helyesen alkalmaztuk-e őket (azaz jól hoztuk-e alulra az indexeket)!

[next] [prev] [prev-tail] [front] [up]