Altalanos Kunneth tetelek

26.1. Tétel (Künneth formula kohomológiára — III). Legyenek X, Y topológikus terek, M modulus az R gyűrű felett. Ekkor létezik az alábbi (nem kanonikus) izomorfizmus:

( ) n( ) ∼ ⊕ p q( ) H X × Y ;M = H X; H Y ;M p+q=n

Ha R test, akkor H^p

X; H^q

Y ; M

H^p(X; R) ⊗ H^q(X; M), és a fenti izomorfizmus inverze éppen a külső szorzat (24.1. Konstrukció, összegezve p + q = n-re).

Ötlet: Alkalmazzuk a 10.4. Tételt az következő szereposztásban:

⋅ ( ) E⋅ = Δ ⋅(X, A ), F = Hom Δ⋅(Y,B ),M .

□

26.2. Feladat. Fogalmazd meg, és bizonyítsd be a 26.1. Tétel tér-párokra vonatkozó általánosítását!

26.3. Tétel (Künneth egzakt sorozat kohomológiára). Legyenek X, Y topológikus terek, R nullosztómentes főideálgyűrű, M, N R-modulusok. Tegyük fel, hogy az alábbi végességi feltételek közül legalább az egyik teljesül:

—: Hⁿ(X; ℤ) és Hⁿ(Y ; ℤ) végesen generált minden n-re,
—: Hⁿ(X; ℤ) végesen generált, minden n-re, és N is végesen generált.

Ekkor létezik az alábbi funktoriális rövid egzakt sorozat:

⊕ p q n( ) 0 → H (X, M ) ⊗ H (Y ;N ) → H X × Y ;M ⊗ N −→ p+q=n

⊕ ( ) −→ Tor1 Hp (X, M ),Hq (Y ;N ) → 0 p+q=n+1

Ez a sorozat (nem kanonikusan) felhasad.

Ötlet: Használd Eilenberg-Zilber tételt (22.1. Tétel), a 4.9. Lemmát, a 23.3. Tétel bizonyításában szereplő (7) azonosságot, és a 10.2. Tételt. □

26.4. Feladat. Fogalmazd meg, és bizonyítsd be a 26.3. Tétel tér-párokra vonatkozó általánosítását!

26.5. Feladat. Lásd be, hogy a 26.3. Tételben szereplő

⊕ p q n( ) H (X, M ) ⊗ H (Y;N ) → H X × Y ;M ⊗ N p+q=n

homomorfizmus nem más, mint a külső szorzás (24.1. Konstrukció).

26.6. Feladat. Ha R test, akkor a 26.3. Tétel ad egy

n( ) ∼ ⊕ p q H X × Y ;M ⊗ N = H (X, M ) ⊗ H (Y ;N ) p+q=n

izomorfizmust (feltéve, hogy a végességi feltétel teljesül). Lásd be, hogy ez ugyanaz az izomorfizmus, mint amit a 26.1. Tétel ígér. (Sőt, a 26.5. Feladat alapján ez megegyezik a külső szorzással is.)

26.7. Feladat. Fogalmazd meg, és bizonyítsd be a Künneth formulák (26.1 és 26.3) homológia-csoportokra vonatkozó variánsát. (Használd a 10.2. Tételt!)

26. Általános Künneth tételek — topológia