27.1. Konstrukció (csésze szorzat). Legyen X egy topológikus tér, A,B ≤ X alterek, M és N modulusok egy R gyűrű fölött. Tegyük fel, hogy {A,B} jól vág (21.2. Definíció). Megépítjük az alábbi csésze szorzás homomorfizmusokat (angolul: cup product):

Mindkét sorozat minden változóban természetes transzformáció.

Az alábbi diagrammokon az első nyíl a külső szorzás (8.4. Feladat), a második a 22.2. Következményből, a harmadik pedig az X → X × X átlós beágyazásból származó lánc-homomorfizmus:

A diagrammon szereplő leképezések kompozíciójára alkalmazzuk a 8.1. Tételt, így kapjuk a csésze szorzást. A térpárokra vonatkozó csésze szorzást pedig az alábbi diagrammból kapjuk:

27.2. Feladat. A 24.1. Konstrukció ad egy

homomorfizmust, ezt komponáljuk az X → X×X átló menti visszahúzással. Lásd be, hogy éppen a 27.1. Konstrukcióbeli csésze szorzást kapjuk!

27.3. Konstrukció (sapka szorzat). Legyen X egy topológikus tér, A,B ≤ X alterek, M és N modulusok egy R gyűrű fölött. Tegyük fel, hogy {A,B} jól vág (21.2. Definíció). Megépítjük az alábbi sapka szorzás homomorfizmusokat (angolul: cap product):

Mindkét sorozat minden változóban természetes transzformáció.

Az alábbi diagrammon az első lánc-homomorfizmus az XX × X átlós leképezésből, a második az Eilenberg-Zilber tétel (22.2. Következmény) τ_∗ lánc-ekvivalenciájából származik, a harmadik leképezés pedig a Hom Δ⋅(X),R-beli homomorfizmusok kiértékelése az első Δ⋅(X) elemein, tehát egy f ⊗ x ⊗ y alakú szorzathoz az f(x)y elemet rendeli:

Fontos észrevétel, hogy amíg az első két leképezés lánc-homomorfizmus, a harmadik, eval ⊗ id, csak fokszámtartó abelcsoport homomorfizmus, de nem feltétlenül kommutál a komplexusok határ-homomorfizmusával. Ezzel szemben ha c egy tetszőleges kolánc Hom Δ⋅(X),R-ben, azaz ∂c = 0, akkor a {c}⊗ Δ⋅(X) ⊗ Δ⋅(X)R ⊗ Δ⋅(X) leképezés egy lánc-homomorfizmus.

A tenzor-szorzat totális komplexusában most alsó indexeket fogunk használni. Az egyik tényező felső indexet használ — szokásunkhoz híven ezt negatívan számítjuk a totális komplexus indexébe. Tehát a 8.1. Tétel és a diagrammon szereplő első két lánc-homomorfizmus segítségével kapunk egy

homomorfizmust. Könnyű ellenőrizni, hogy eval ⊗ id is indukál egy homomorfizmust, annak ellenére, hogy ő maga nem lánc-homomorfizmus. Az utóbbi két homomorfizmus kompozíciója a sapka szorzás. A térpárokra vonatkozó sapka szorzást pedig az alábbi diagrammból kapjuk:

27.4. Feladat. Lást be, hogy a 27.3. Konstrukcióban szereplő eval ⊗ id leképezés, annak ellenére, hogy nem lánc-homomorfizmus, mégiscsak indukál egy leképezést a megfelelő homológia csopotok között!

27.5. Tétel. Legyenek (X,A) és (Y,B) tér-párok, és tegyük fel, hogy {X × B,A × Y } jól vág (21.2. Definíció). Lelölje f : X × Y → X és g : X × Y → Y a vetítéseket. Ekkor tetszőleges a ∈ H^p(X,A; M) és b ∈ H^q(X,B; N) kohomológia-osztályokra:

Másrészt, ha X = Y , akor a feltétel miatt {A,B} jól vág, és a ϕ : X → X × X átlós leképezés (ϕ(x) = (x,x)) segítségével:

27.6. Tétel (Szorzat-azonosságok). Rögzítsünk egy R gyűrűt. Az alábbi azonosságokban minden homológiát és kohomológiát R-modulus együtthatókkal számolunk. a,b,c,d kohomológia-osztályokat, x,y pedig homológia-osztályokat jelölnek, 1 jelöli a konstans 1 kohomológia-osztályt (17.4. Definíció, olyan esetben, ha az együttható-csoport éppen R), f terek vagy tér-párok közti folytonos függvény. Nem részletezzük, hogy pontosan melyik térhez vagy térpárhoz tartoznak — az azonosságok minden olyan esetben érvényesek, ha a bennük előírt műveletek elvégezhetők:

27.7. Tétel (Sapka-szorzás és a Mayer-Vietoris sorozat). Legyenek A,B alterek egy X topológikus térben. Tegyük fel, hogy {A,B} jól vág. Legyen x_A∩B ∈ H_nX,A ∩ B; ℤ egy tetszőleges homológia osztály, jelölje x_A, x_B és x_A∪B az x_A∩B képét a H_n(X,A), H_n(X,B) illetve H_n(X,A ∪ B) homológia-csoportokban. Az alábbi két sora az (X,A) ∪ (X,B) = X,A ∪ B fedéshez, illetve az X ∪ X = X fedéshez tartozó Mayer-Vietoris sorozatok részlete (lásd a 21.5. Tételt), a diagramm előjel erejéig kommutatív:

27.8. Feladat. Keresd meg a 27.7. Tétel egy csésze-szorzásra vonatkozó változatát!

27.9. Definíció. Legyen (X,A) egy tér-pár, M modulus az R gyűrű felett. Bevezetjük a

jelöléseket. Az elsőt kohomológia-gyűrűnek, a másikat pedig homológia-modulusnak hívjuk. Ha f egy térpárok közti leképezés, akkor jelöli a hozzá tartozó homomorfizmusokat. Ha A = ∅, akkor kihagyható a jelölésből: H^∗(X; R), H _∗(X; M). Ha egyértelmű, hogy melyik gyűrűről illetve modulusról van szó, akkor az együttható is elhagyható: H^∗(X,A), H^∗(X), H^∗(f) illetve H _∗(X,A), H_∗(X), H_∗(f).

27.10. Következmény. Rögzítsük az R gyűrűt és az M modulust! Minden kohomológia R együtthatóval, minden homológia M együtthatóval értendő. A tenzor szorzásokat R felett végezzük.

(a)

Minden (X,A) tér-párra H^∗(X,A) a csésze szorzással egy fokszámozott, ferdén kommutatív R-algebra, H_∗(X,A) a sapka-szorzással egy fokszámozott H^∗(X,A)-modulus.

(b)

Minden f : (X,A) → (Y,B) pár-leképezésre H^∗(f) egy fokszámozott R-algebra homomorfizmus. Ez fokszámozott H^∗(Y,B)-modulussá teszi az (X,A) pár homológiáját is, és H _∗(f) egy H^∗(Y,B)-modulus homomorfizmus.

(c)

Legyenek (X,A) és (Y,B) tér-párok, tegyük fel, hogy A × Y,X×B jól vág (21.2. Definíció). Tekintsük az (X,A)×(Y,B) szorzat-párt (11.1. Definíció). R-algebrák tenzor szorzata ismét R-algebra, a kohomológia külső szorzás (24.1. Konstrukció) egy fokszámozott algebra-homomorfizmus: Ez fokszámozott H^∗(X,A)⊗H^∗(Y,B)-modulussá teszi a szorzat-pár homológiáját is, a homológia külső szorzás (24.2. Feladat) egy H^∗(X,A) ⊗ H^∗(Y,B)-modulus homomorfizmus:

(d)

Legyen most S egy R-algebra, és N egy S-modulus, és ϕ : M ⊗ S → N egy S-modulus homomorfizmus. Ez indukál egy S-algebra homomorfizmust: és egy H^∗(X,A; R) ⊗ S-modulus homomorfizmust: