[next] [prev] [prev-tail] [tail] [up]

29. Poincaré dualitás

Ennek a fejezetnek a célja, hogy bebizonyítsuk a következőt:

29.1. Tétel (Poincaré dualitás). Legyen M egy n-dimenziós összefügő, irányítható, zárt topológikus sokaság. Ekkor Hn(M; ℤ)∼ =ℤ, és az [M] ∈ Hn(M; ℤ) generátorral való sapka-szorzás izomorfizmus minden dimenzióban:

k ∼= D [M ] : H (M ;ℤ) −→ Hn −k(M ;ℤ), D [M](x) = x ∩ [M ]

Ebben a fejezetben csupa olyan állítással találkozunk, ami egy kis gömb környezetében könnyen kiszámolható. A fő bizonyítási módszerünk a Mayer-Vietoris sorozat (21.5. Tétel), ennek segítségével tudunk nagy kompakt halmazok környezetéről információt szerezni. A módszerünk a lelke mélyén véges, nem tudunk a kompakt halmazoktól elszabadulni. Ezért van szükségünk a kompakt tartójú kohomológia fogalmára.

Legyen M egy topológikus sokaság, K ⊆ M egy kompakt részhalmaz. A Hom (Δ⋅(X), ℤ) komplexusban keresünk olyan rész-komplexust, amelyik a K halmaz környezetére „koncentrál”. Ha csak olyan koláncokat engedünk meg, amelyek minden K-ból kilógó szimlexen nullák, akkor nem kapunk rész-komplexust: egy ilyen kolánc kohatárában szerepelhet egy csomó olyan szimplex, amelynek csak az egyik oldala van K-ban. Ehelyett csak azt követeljük majd meg a koláncainktól, hogy a K-tól diszjunkt szimplexeken nullák legyenek.

29.2. Definíció. Legyen X egy tetszőleges topológikus tér. A kompakt tartójú kohomológiáit így definiáljuk:

n n H c (X; ℤ) = li−m→ H (X, X \ K ) Kkom⊆pXact

Az alábbi tétel megmutatja, hogy miért nem definiáljuk a „kompakt tartójú homológiákat”: a homológia-osztályok már maguktól kompakt tartójúak.

29.3. Tétel. Legyen X tetszőleges topológikus tér, és A ⊆ X egy altér. Az alábbi izomorfizmusra úgy szokás hivatkozni, hogy „a homológiának kompakt tartója van”. A képletbeben (K,B) a kompakt párokon fut (lásd a 11.3. Definíciót).

H (X, A;ℤ ) ∼= lim H (K, B; ℤ ) n (K,B−)→⊆(X,A) n kompact

Ötlet: A tétel azért igaz, mert a direkt limesz funktor egzakt. Az analóg állítás kohomológiákra nem igaz, mert az inverz limesz funktor nem egzakt. □

29.4. Konvenció. Legyen M egy topológikus sokaság, K ⊆ M egy kompakt részhalmaz. Legyen U a K olyan nyílt környezete, melynek a K deformációs retraktuma. Ha az M viselkedését akarjuk megérteni a K környezetében, akkor elég az (U,∂U) párt (és benne K-t) tanulmányozni. De (U,∂U) homotóp ekvivalens (M,M \U)-val, sőt (M,M \ K)-val is. Ezért ebben a fejezetben gyakran dolgozunk (M,M \ K) alakú párokkal, érdemes egy jelölést is bevezetni:

( ) (M |K ) = M, M \ K ⇔ „M a K körül”
Ha x ∈ M egy pont, akkor pedig:
( ) (M |x) = M, M \ {x } ⇔ „M az x körül”
Ugyanezekt a jelöléseket használjuk majd homológia- és kohomológia-csoportokban is, mint például:
( ) n n( ) Hn (M |K; ℤ) = Hn M, M \K; ℤ , H (M |x; ℤ) = H M, M \{x };ℤ

Az alábbi lemma arról szól, hogy egy topológikus sokaságban bármely pont környezetében „lokálisan” érvényes a Poincaré dualitás. Később, a Poincaré dualitás bizonyításakor ezeket a lokális dualitásokat fogjuk majd a Mayer-Vietoris sorozat segítségével összeragasztani.

29.5. Lemma. Legyen M egy n-dimenziós topológikus sokaság, x ∈ M egy pont és B ⊆ M egy x-et tartalmazó tömör golyó. Lásd be, hogy

( ( ) ( ) ( ) |{ 0 ha i ⁄= n Hi M |x;ℤ ∼= Hi M |B; ℤ ∼= Hi B, ∂B; ℤ ∼= ℤ ha i = n |(
és
( ( ) ( ) ( ) |{ 0 ha i ⁄= n Hi M |x;ℤ ∼= Hi M |B; ℤ ∼= Hi B, ∂B; ℤ ∼= ℤ ha i = n |(
Továbbá, az alábbi diagramon a sapka szorzás éppen az egész számok szorzása (miután az egyes csoportokat ℤ-vel azonosítottuk)!
∩ Hn (B, ∂B; ℤ ) ⊗ Hn(B, ∂B; ℤ )− → H0(B; ℤ ) ∼= ℤ

Bizonyítás. A három szóban forgó tér-pár szinguláris lánc-komplexusa lánc-homotóp a kivágási tétel (21.1) miatt:

∼ ∼ Δ ⋅(M |x)= Δ ⋅(M |B )= Δ ⋅(B, ∂B )
Ezért a keresett homológia- illetve kohomológia-csoportok izomorfak egymással. Legyen most n ≥ 2, tekintsük B-ben a következő CW-felbontást:

(Az n < 2 eset is nagyon hasonló, az olvasóra hagyjuk). Világos, hogy B CW-lánc-komplexusa n, n − 1 és 0 dimenzióban él:

{ ∼= } ΔCW⋅ (B ) = 0 → σn ⋅ ℤ −→ ηn−1 ⋅ ℤ → 0 → ⋅⋅⋅ → 0 → P0 ⋅ ℤ → 0
és a (B,∂B) pár CW-lánc-komplexusa csak n-dimenziókban különbözik nullától:
{ } ΔCW (B, ∂B ) = 0 → σ ⋅ ℤ → 0 ⋅ n
A két komplexus tenzor szorzata éppen Δ⋅(B × B,B × ∂B), és íme a (B,∂B)`→(B × B,B × ∂B) átlós beágyazáshoz tartozó lánc-homomorfizmus:
----- --∼=-- ----- ------ ----- ----- 0 σn ⊗ σn ⋅ ℤ ηn−1 ⊗|σn ⋅ ℤ 0 0 P0 ⊗ σn ⋅ ℤ 0| | | | | 0----------0 ----------------0 -----------0------0--------σn ⋅ ℤ--------0
Ebből könnyen kiolvasható, hogy a [σn] ∈ Hn(B,∂B; ℤ) kohomológia generátor és a [σn] ∈ Hn(B,∂B; ℤ) homológia generátor sapka szorzata éppen a [P0] ∈ H0(B; ℤ) homológia generátor. □

A Poincaré dualitásban kulcs-szerepe van az irányításnak. Klasszikusan az érintő nyaláb segítségével szokás definiálni. Topológikus sokaságokra ez az út nem járható, de van egy jó helyettesítő eszköz: az irányítás nyaláb. A definíció előtt szükség van néhány alapfogalomra.

Legyen M egy n-dimenziós topológikus sokaság, x ∈ M egy pont. Találhatunk egy x ∈ Ux ⊆ M környezetet, amelyik homeomorf az n-dimenziós golyóval. Ha ezeket az Ux környezeteket sikerülne össze-barkácsolni egy golyó-nyalábbá, akkor azt használhatnánk az M érintő-nyalábjának. Ezt sajnos nem tudjuk megtenni, de legalább imitáljuk: Ux helyett megelégszünk az (Ux,∂Ux) párral, ami homotóp ekvivalens az (M|x) párral (29.4. Konvenció). Ha M összefüggő, akkor ezek összeállnak egy tér-pár nyalábbá — amit majd ugyanúgy használunk, mintha ő lenne az éritő-nyaláb.

29.6. Lemma. Legyen M egy összefüggő topológikus sokaság, D ⊆ M×M az átló. Ekkor M homogén a következő értelemben: Bármely két x,y ∈ M pontra M \{x} homeomorf M \{y}-nal. Az alábbi diagramon az M × M direkt szorzat vetítése látható a második tényezőre:

( | ) T : M × M |D − → M
Ez egy tér-pár nyaláb (12.3. Definíció), a rostja minden x ∈ M pontban az (M|x) pár.

29.7. Megjegyzés. Legyen M egy n-dimenziós topológikus sokaság. Egy x ∈ M pontban kétféleképpen irányíthatjuk: az irányítást reprezentálhatjuk ppéldául a Hn(M|x; ℤ) csoport két generátorával (azaz kétféle képpen azonosíthatjuk Z-vel). Ez analóg azzal, hogy differenciálható sokaságokon az irányítást megadhatjuk térfogati formával. A differenciálható esetben tehát az ∧ nT∗M a kulcs az irányításhoz. Ennek az analógja az alábbi irányítás nyaláb.

29.8. Definíció (irányítás nyaláb). Legyen M egy n-dimenziós topológikus sokaság. A 29.6. Lemma megad minden Mi ⊆ M összefüggő komponensen egy-egy Ti tér-pár nyalábot. A H(Ti; ℤ) rostonkénti homológia (12.10. Konstrukció) egy ℤ-nyaláb az Mi komponensen, ezek együttvéve egy ℤ-nyalábot alkotnak az egész M-en. Ezt nevezzük az M irányítás nyalábjának.

29.9. Definíció. Legyen M egy n-dimenziós topológikus sokaság, I az irányítás nyalábja, K ⊆ M egy kompakt részhalmaz. Hn(M|K) elemeit megszorítjuk Hn(M|x)-re, ahol x végigfut K pontjain. Így minden Hn(M|K)-beli homológia-osztályhoz egy K → I folytonos szelést rendeltünk. Ez a hozzárendelés egy természetes homomorfizmus:

( ) ιK : Hn M |K; ℤ −→ Γ (I,K )

29.10. Lemma. Legyen M egy n-dimenziós topológikus sokaság, I az irányítás nyalábja. Ekkor minden A ⊆ M kompakt részhalmazra Hi(M|A, ℤ) = 0 ha i > n, és a 29.9. Definícióbeli ιA izomorfizmus.

Bizonyítás. Ebben a bizonyításban egész együtthatós homológiát használunk, elhagyjuk a ℤ-t a jelölésből. Először belátjuk a következő redukciós lépést: ha az A, B, A ∩ B halmazok teljesítik a lemma feltételeit, akkor A∪B is teljesíti azokat. Tegyük hát fel, hogy A és B ilyen kompakt halmazok, és írjuk fel rájuk vonatkozó Mayer-Vietoris sorozat (21.5. Tétel) egy darabkáját:

Hj+1 (M |A ∩ B ) → Hj (M |A∪B ) → Hj (M |A)⊕Hj (M |B) → Hj (M |A ∩B )
Ha j > n, akkor Hj(A ∪ B) mindkét oldalán nulla áll, tehát ő maga is nulla. Ha pedig j = n, ezt látjuk:
0----- H (M |A ∪ B) -----H (M |A ) ⊕ H (M |B ) -----H (M |A ∩ B ) n | n | n n | |ιA∪B |ιA⊕ ιB ιA∩B 0------ Γ (A ∪ B, I)--------Γ (A,I ) ⊕ Γ (B,I )------- Γ (A ∩ B, I )
ahol a baloldalt a fölső sor szélén Hn+1(M|A ∩ B) = 0 szerepel. Az alsó sor egzaktsága éppen azt fejezi ki, hogy egy A → I és egy B → I szelés pontosan akkor áll össze egy A ∪ B → I szeléssé, ha az A ∩ B felett a különbségük nulla. A két jobboldali függőleges nyíl a feltétel miatt izomorfizmus, tehát az 5-lemma (2.9. Lemma) miatt ιA∪B is izomorfizmus. Ezzel igazoltuk a redukciós lépést.

Nevezzük tömör golyónak az olyan A ⊂ M részhalmazokat, amelyek tömör golyók egy ℝn-nel homeomorf nyílt halmazban. Ha A egy tömör golyó, akkor pontrahúzható, ezért I triviális nyaláb A fölött, és így Γ(A,I)∼=ℤ. Másrészt az (M|A) pár az (M|x) pár deformációs retraktuma, ahol x ∈ M tetszőleges pont, ezért a Hn(M|A) → Hn(M|x) megszorítás izomorfizmus minden x ∈ A pontban, és így ιA izomorfizmus. A redukciós lépést többször egymás után alkalmazva láthatjuk, hogy a a lemma teljesül minden olyan kompakt halmazra, amelyik véges sok tömör golyó uniója.

Legyen most A tetszőleges kompakt halmaz, tekintsünk egy olyan z ∈ Δi(M) láncot, melyre ∂z ∈ Δi−1(M \ A), azaz ∂z elkerüli az A halmazt. Legyen K ⊂ M egy olyan halmaz, ami tömör gömbök uniója, lefedi az A halmazt, de diszjunkt ∂z-től. Jelölje [z]A ∈ Hi(M|A) illetve [z]K ∈ Hi(M|K) a z által reprezentált homológia osztályt! Világos, hogy a Hi(M|K) → Hi(M|A) megszorítás a [z]K osztályt a [z]A osztályba viszi. tehát [z]K = 0 esetén [z]A is nulla.

Alkalmazzuk ezt az észrevételt az i > n esetre. Ekkor Hi(M|K) = 0, tehát [z]K = 0, és ezért [z]A = 0. Ez minden z relatív ciklusra igaz, tehát Hi(M|A) = 0.

Legyen most i = n, és tegyük fel, hogy [z]A képe nulla Γ(A,I)-ben. Ekkor [z]K képe is nulla Γ(K,I)-ben. De Hn(M|K) → Γ(K,I) injektív, ezért [z]K = 0, és így [c]A = 0. Ez bizonyítja, hogy Hn(M|A) → Γ(A,I) is injektív.

Végezetül tekintsünk egy σA ∈ Γ(A,I) szelést. Ez folytonosan kiterjeszthető az A halmaz egy nyílt környezetére. Ezért van olyan K halmaz és olyan σK ∈ Γ(K,I) szelés, melyre K véges sok tömör gömb uniója, A ⊂ K, és σK megszorítása A-ra éppen σA. Mivel K-ra igaz a lemma, azért van olyan ck ∈ Hn(M|K) osztály, melynek képe Γ(K,I)-ben éppen σK. Legyen cA ∈ Hn(M|A) a cK osztály megszorítása. Világos, hogy CA képe Γ(A,I)-ben éppen σA. Ezért Hn(M|A) → Γ(A,I) szürjektív. □

29.11. Definíció (Fundamentális osztály). Legyen M egy n-dimenziós topológikus sokaság, I az irányítás nyalábja. Az M irányítása egy olyam M →I folytonos szelés, amelyik minden x ∈ M ponthoz az Ix∼=ℤ rost egyik generátorát rendeli. M irányítható, ha van irányítása. A 29.10. Lemma miatt egy irányítás megadható egy fundamentális osztállyal, azaz homológia-osztályok egy

{ } [M ] = σK ∈ Hn (M |K; ℤ )
kompatibilis rendszerével, ahol K végigfut M kompakt részhalmazain. Másképpen írva:
[M ] = {σK } ∈ Klim⊆M Hn(M |K; ℤ ) kompakt
Egy ilyen {σK} rendszert az M fundamentális oszályanak nevezünk, és [M]-mel jelöljük. Ha M kompakt, akkor egyszerűen
[M ] ∈ Hn (M ;ℤ)

29.12. Tétel (Poincaré dualitás nyílt sokaságokra). Legyen M egy irányítható sokaság, [M] egy fundamentális osztálya. Az [M]-mel való sapka-szorzás izomorfizmus minden dimenzióban:

D : Hk (M ;ℤ) −∼=→ H (M ;ℤ), D (x) = x ∩ [M ] [M ] c n−k [M]

Bizonyítás. Hibás bizonyítás! Javítani kell!

Ebben a bizonyításban egész együtthatós homológiát és kohomológiát használunk, elhagyjuk a ℤ-t a jelölésből. Minden A ⊆ M kompakt halmazra jelölje σA ∈ Hn(M|A) az [M] képét (29.11. Definíció). Vegyük észre, hogy a Kivágási Tétel (21.1. Tétel) miatt tetszőleges A ⊆ U nyílt környezet esetén Hn(M|A)∼=Hn(U,A), tekinthetünk σA-ra úgy, mint a Hn(U|A) elemére. Most keresünk olyan U ⊆ M nyílt halmazokat, melyeknek minden kompakt részhalmaza lefedhető olyan A ⊆ M kompakt halmazzal, melyre a σA-val való sapka-szorzás izomorfizmus minden dimenzióban:

k ∼= DU,A : H (U |A ) −→ Hn −k(U ), DU,A(x ) = x ∩ σA
(9)

Ha egy U ⊆ M nyílt halmaz homeomorf ℝn-nel, akkor minden kompakt részhalmaza lefedhető egy A ⊆ U konvex kompakt részhalmazzal, és (9) következik a 29.5. Lemmából. Minden kompakt részhalmaz lefedhető véges sok ℝn-nel homeomorf nyílt halmazzal, tehát elegendő belátnunk a következő redukciót:

Hibás bizonyítás! Javítani kell!

ha (9) teljesül az A, B és A ∩ B halmazokra, akkor teljesül A ∪ B-re is. Az alábbi diagram felső sorában az M|A ∪ B = (M|A) ∪ (M|B) fedéshez tartozó Mayer-Vietoris sorozat látható (legalábbis annyi, amennyi odafért belőle), az alsó sorba pedig az M = M ∪M fedéshez tartozó Mayer-Vietoris sorozatot írtuk. δ∗ és ∂ ∗ jelölik a határ-homomorfizmusokat, a függőleges nyilak pedig a (9)-ban szereplő sapka szorzások:

∗ Hk− 1(M |A ∩ B )δ- Hk (M |A ∪ B )-- Hk (M |A) ⊕ Hn (M |B )-- Hk (M |A ∩ B ) | | | | |DA ∩B DA ∪B DA ⊕(−DB) DA ∩B | ∂∗ | | | Hn −k+1(M ) -------Hn −k(M ) ------Hn −k(M ) ⊕ Hn (M ) ------Hn −k(M )
A 27.7. Tétel miatt az ábrán látható diagramm előjel erejéig kommutatív. Ha jobbra-balra folytatjuk a diagramot, a két Mayer-Vietoris sorozat mentén végig, minden k-ra ugyanilyen négyzetek ismétlődnek. A függőleges nyilak közül a DA∩B-vel és a DA ⊕ DB-vel jelöltek izomorfizmusok. Az öt-lemma (2.9. Lemma) miatt tehát DA∪B is izomorfizmus. □

29.13. Tétel (Poincaré dualitás peremes sokaságokra). Legyen M egy n-dimenziós irányítható kompakt peremes sokaság, [M] ∈ Hn(M,∂M; ℤ) a fundamentális osztálya. Bontsuk fel a peremét két zárt részhalmazra: ∂M = A∪B, úgy, hogy A és B maguk is (n−1)-dimenziós peremes sokaságok, közös peremmel. Az [M]-mel való sapka-szorzás izomorfizmus minden dimenzióban:

∼= D[M ] : Hk (M, A; ℤ) −→ Hn −k(M, B; ℤ ), D [M ](x ) = x ∩ [M ]

29.14. Tétel. Legyen X egy irányított differenciálható sokaság, M ↬ X és N ↬ X két immertált irányított részsokaság, amelyek transzverzálisan metszik egymást. Jelölje [M], [N], [M ∩N] ∈ H∗(X, ℤ) a fundamentális osztályok képét, [M]∗, [N]∗, [M ∩N]∗ ∈ H∗(X, ℤ) pedig a Poincaré duálisaikat. Ekkor

∗ ∗ ∗ ∗ [M ] ∩ [N ] = [M ∩ N ] és [M ] ∪ [N ] = [M ∩ N ]

[next] [prev] [prev-tail] [front] [up]